Propiedades de Logaritmos

Introducción

Cuando vamos a un parque de diversiones y nos subimos a una estrella, realizamos un movimiento periódico, pues el movimiento se repite una y otra vez. La siguiente aplicación muestra la gráfica de la altura a la que se encuentra una persona que se encuentra en la estrella a través del tiempo.

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Para describir este movimiento periódico matemáticamente necesitamos una función cuyos valores se incrementen, luego disminuyan y repitan el patrón indefinidamente. En una forma similar, en esta lección, vamos a utilizar el círculo unitario para definir las funciones seno y coseno. Discutiremos las propiedades de estas funciones y analizaremos sus gráficas.

Para estudiar movimiento y localizaciones en círculos es conveniente fijarnos inicialmente en el circulo mas simple.

El círculo unitario es el círculo de radio 1, centrado en el origen en el plano cartesiano. Su ecuación es:

$x^{2} + y^{2} = 1$ point 1

PUNTOS TERMINALES DEL CÍRCULO UNITARIO

Ahora supongamos que t es un número real, si se marca la distancia t a lo largo del círculo unitario a partir del punto (1,0), si se mueve en contra de las manecillas del reloj, es porque el valor de t es positivo, mientras que si se mueve a favor de las manecillas del reloj a partir del punto del mismo punto (1,0), entonces t es negativo. Si seguimos este procedimiento llegamos a un punto general P(x,y) sobre el círculo. Este punto es llamado punto terminal, y está determinado por el valor de t.

Hay muchas maneras de definir localizaciones en el circulo unitario. Vamos a comenzar definiendo una localizacion (x,y) en el círculo por el ángulo formado entre (x,y) y (0,0) y (0,0) y (1,0).

La localización (0,1) se asocia con 90° ó $\frac{π}{2}$

La localización $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ se asocia con 45° ó $\frac{π}{4}$

La localización $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ se asocia con 120° ó $\frac{2π}{3}$

La localización (0,-1) se asocia con 270° ó $\frac{3π}{2}$

EL NÚMERO DE REFERENCIA

Sea t un número real. El número de referencia $\bar{t}$ asociado a t es la distancia más corta a lo largo del círculo unitario, entre el punto terminal determinado por t y el eje x.

	Si P = (a, b) está en el cuadrante II, $\bar{t} = π - t$
	Si P = (a, b) está en el cuadrante III, $\bar{t} = t - π$
	Si P = (a, b) está en el cuadrante IV, $\bar{t} = 2π - t$

Ejemplo

Encuentre el número de referencia de $\frac{5π}{6}$

Solución

Paso 1: Identifique el cuadrante asociado.

Observe que:

$\frac{π}{2} = \frac{3π}{6} < \frac{5π}{6}$ y $\frac{5π}{6} < \frac{6π}{6} = π$

Por tanto $\frac{5π}{6}$ , está en el cuadrante II.

Paso 2: Calcule la distancia más corta al eje de x.

$t = π - \frac{5π}{6} = \frac{6π}{6} - \frac{5π}{6} = \frac{π}{6}$

Funciones Trigonométricas: Seno y Coseno

Como vimos en la sección anterior, existe una correspondencia entre un punto (x,y) del círculo unitario y el ángulo con vértice en el origen y puntos terminales (x,y) y (1,0). Esta correspondencia nos permite definir las siguientes funciones:

La siguiente aplicación nos permite ver la localización asociada a un punto en el círculo unitario. Para ver las funciones sen(α) y cos(α) marca las casillas correspondientes.

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Propiedades

La siguiente tabla muestra algunas propiedades importantes de las funciones seno y coseno.

$\cos^{2} (α) + {sen}^{2} (α) = 1$		Para cualquier punto (x,y) en el círculo unitario, podemos construir un triángulo rectángulo como se muestra en la gráfica de la izquierda. Note que los catetos corresponden a las coordenadas x y y del punto respectivamente. La hipotenusa es el radio del círculo unitario. Por la ley de Pitágoras, que vimos en la lección Distancia entre dos puntos, sabemos que: $\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 1^{2} \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}$ Por la definición de las funciones sen y cos tenemos $y = sen (α)$ y $x = \cos (α)$ Reemplazando estas ecuaciones en la fórmula de arriba, tenemos que: ${\cos (α)}^{2} + {sen (α)}^{2} = 1$
$\cos (-α) = \cos (α)$		En la figura de la izquierda, vemos el punto (x,y) en el círculo unitario asociado con el ángulo α. Si hacemos un giro de α, pero en el sentido negativo, al ángulo -α le corresponderá el punto (x,-y) Además sabemos que, $x = \cos (α)$ Por lo tanto, las expresiones $\cos (α)$ y $\cos (-α)$ son ambas iguales a x. En conclusión: $\cos (-α) = \cos (α)$
$sen (-α) = - sen (α)$		En la figura de la izquierda, vemos el punto (x,y) en el círculo unitario asociado con el ángulo α. Si hacemos un giro de α, pero en el sentido negativo, al ángulo -α le corresponderá el punto (x,-y) Además sabemos que, $y = sen (α)$ Por lo tanto: $sen (-α) = - sen (α)$
$sen (180 - α) = sen (α)$		En la figura de la izquierda, vemos el punto (x,y) en el círculo unitario asociado con el ángulo α. También se muestra el ángulo (180- α), y observamos que está asociado al punto (-x,y) Además sabemos que, $y = sen (α)$ Por lo tanto: $sen (180 - α) = sen (α)$
$\cos (180 - α) = - \cos (α)$		En la figura de la izquierda, vemos el punto (x,y) en el círculo unitario asociado con el ángulo α. También se muestra el ángulo (180- α), y observamos que está asociado al punto (-x,y) Además sabemos que, $x = \cos (α)$ Por lo tanto: $\cos (180 - α) = - \cos (α)$
$\cos (180 + α) = - \cos (α)$		En la figura de la izquierda, vemos el punto (x,y) en el círculo unitario asociado con el ángulo α. También se muestra el ángulo (180 + α), y observamos que está asociado al punto (-x,-y) Además sabemos que, $x = \cos (α)$ Por lo tanto: $\cos (180 + α) = - \cos (α)$
$sen (180 + α) = - sen (α)$		En la figura de la izquierda, vemos el punto (x,y) en el círculo unitario asociado con el ángulo α. También se muestra el ángulo (180 + α), y observamos que está asociado al punto (-x,-y) Además sabemos que, $y = sen (α)$ Por lo tanto: $sen (180 + α) = - sen (α)$

Propiedades de las Funciones Seno y Coseno
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Gráfica				Demostración

Para practicar propiedades de las funciones seno y coseno haz click en el siguiente botón

Seno y Coseno de Ángulos Especiales

La siguiente tabla muestra las funciones seno y coseno de algunos angulos.

sen (0°) = 0

\cos (0°) = 1

En la figura, se ve claramente que el ángulo 0° está asociado con el punto (1, 0)

Por lo tanto:

$sen (0°) = 0$ y $\cos (0°) = 1$

sen (30°) = \frac{1}{2}

\cos (30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Queremos obtener las coordenadas del punto asociado a 30°. Estas coordenadas coinciden con los lados el triángulo rectángulo mostrado en la figura.

Nota que como el radio del círculo unitario es 1, la hipotenusa del triángulo también debe ser igual a 1.	Reflejando el triángulo sobre uno de sus lados:

Como la suma de todos los ángulos del triángulo es 180°, los otros ángulos miden 60° y por lo tanto tenemos un triángulo equilátero.	Cada lado opuesto al ángulo de 30° mide ½

Ahora, ya sabemos que y es igual a ½. Para hallar x usaremos el teorema de Pitágoras: $\begin{matrix} x^{2} = 1^{2} - {\frac{1}{2}}^{2} \\ x^{2} = 1 - \frac{1}{4} \\ x^{2} = \frac{3}{4} \\ x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}$

Lo que significa que los lados de nuestro triángulo tienen las siguientes dimensiones:

triangulo 2

De donde, podemos concluir que, el ángulo 30° está asociado con el punto $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

Por lo tanto:

$sen (30°) = \frac{1}{2}$ y $\cos (30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

sen (45°) = \frac{1}{\sqrt{2}}

\cos (45°) = \frac{1}{\sqrt{2}}

Para obtener las coordenadas del punto asociado a 45°, vamos a trabajar con el triángulo rectángulo mostrado en la figura. Nota que como el radio del círculo unitario es 1, la hipotenusa del triángulo también debe ser igual a 1.

triangulo 1

Todo triángulo rectángulo que tiene uno de sus ángulos igual a 45° es un triángulo isósceles, es decir, sus catetos tienen la misma dimensión.

triangulo 2

Luego, por el teorema de Pitágoras: $\begin{matrix} a^{2} + a^{2} = 1^{2} \\ 2 a^{2} = 1 \\ a^{2} = \frac{1}{2} \\ a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}$

Como a debe ser un valor positivo:

a = \frac{1}{\sqrt{2}}

Lo que significa que los lados de nuestro triángulo tienen las siguientes dimensiones:

triangulo 3

De donde, podemos concluir que, el ángulo 45° está asociado con el punto $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$

Por lo tanto:

$sen (45°) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ y $\cos (45°) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

sen (60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}

\cos (60°) = \frac{1}{2}

Queremos obtener las coordenadas del punto asociado a 60°. Estas coordenadas coinciden con los lados el triángulo rectángulo mostrado en la figura.

Nota que como el radio del círculo unitario es 1, la hipotenusa del triángulo también debe ser igual a 1.	Reflejando el triángulo sobre uno de sus lados.

Como la suma de todos los ángulos del triángulo es 180°, el otro ángulo tambien mide 60° y por lo tanto tenemos un triángulo equilátero.	Como es un triángulo equilátero, la base de ambos triángulos pequeños mide ½.

Ahora, ya sabemos que x es igual a ½. Para hallar y usaremos el teorema de Pitágoras: $\begin{matrix} y^{2} = 1^{2} - {\frac{1}{2}}^{2} \\ y^{2} = 1 - \frac{1}{4} \\ y^{2} = \frac{3}{4} \\ y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}$

Lo que significa que los lados del triángulo original tienen las siguientes dimensiones:

triangulo 2

De donde, podemos concluir que, el ángulo 60° está asociado con el punto $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Por lo tanto:

$sen (60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ y $\cos (60°) = \frac{1}{2}$

sen (90°) = 1

\cos (90°) = 0

En la figura, se ve claramente que el ángulo 90° está asociado con el punto (0, 1)

Por lo tanto:

$sen (90°) = 1$ y $\cos (90°) = 0$

sen (120°) = \frac{\sqrt{3}}{2}

\cos (120°) = - \frac{1}{2}

Notemos que:

120° = 180° - 60°

Por otro lado, en las propiedades que se describen en la sección anterior, vimos que:

$sen (180 - α) = sen (α)$

$\cos (180 - α) = - \cos (α)$

Aplicando dichas propiedades y los resultados que obtuvimos para las funciones seno y coseno de 60° :

\begin{matrix} sen (120) = sen (180 - 60) \\ = sen (60) \\ = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} \cos (120) = \cos (180 - 60) \\ = - \cos (60) \\ = - \frac{1}{2} \end{matrix}

Por lo tanto:

$sen (120°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ y $\cos (120°) = - \frac{1}{2}$

sen (135°) = \frac{1}{\sqrt{2}}

\cos (135°) = - \frac{1}{\sqrt{2}}

Notemos que:

135° = 180° - 45°

Por otro lado, en las propiedades que se describen en la sección anterior, vimos que:

$sen (180 - α) = sen (α)$

$\cos (180 - α) = - \cos (α)$

Aplicando dichas propiedades y los resultados que obtuvimos para las funciones seno y coseno de 45° :

\begin{matrix} sen (135) = sen (180 - 45) \\ = sen (45) \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} \cos (135) = \cos (180 - 45) \\ = - \cos (45) \\ = - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}

Por lo tanto:

$sen (135°) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ y $\cos (135°) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

sen (150°) = \frac{1}{2}

\cos (150°) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

Notemos que:

150° = 180° - 30°

Por otro lado, en las propiedades que se describen en la sección anterior, vimos que:

$sen (180 - α) = sen (α)$

$\cos (180 - α) = - \cos (α)$

Aplicando dichas propiedades y los resultados que obtuvimos para las funciones seno y coseno de 30° :

\begin{matrix} sen (150) = sen (180 - 30) \\ = sen (30) \\ = \frac{1}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} \cos (150) = \cos (180 - 30) \\ = - \cos (30) \\ = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}

Por lo tanto:

$sen (150°) = \frac{1}{2}$ y $\cos (150°) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

sen (180°) = 0

\cos (180°) = -1

En la figura, se ve claramente que el ángulo 180° está asociado con el punto (-1, 0)

Por lo tanto:

$sen (180°) = 180$ y $\cos (180°) = -1$

sen (210°) = - \frac{1}{2}

\cos (210°) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

Notemos que:

210° = 180° + 30°

Por otro lado, en las propiedades que se describen en la sección anterior, vimos que:

$sen (180 + α) = - sen (α)$

$\cos (180 + α) = - \cos (α)$

Aplicando dichas propiedades y los resultados que obtuvimos para las funciones seno y coseno de 30° :

\begin{matrix} sen (210) = sen (180 + 30) \\ = - sen (30) \\ = - \frac{1}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} \cos (210) = \cos (180 + 30) \\ = - \cos (30) \\ = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}

Por lo tanto:

$sen (210°) = - \frac{1}{2}$ y $\cos (210°) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

sen (225°) = - \frac{1}{\sqrt{2}}

\cos (225°) = - \frac{1}{\sqrt{2}}

Notemos que:

225° = 180° + 45°

Por otro lado, en las propiedades que se describen en la sección anterior, vimos que:

$sen (180 + α) = - sen (α)$

$\cos (180 + α) = - \cos (α)$

Aplicando dichas propiedades y los resultados que obtuvimos para las funciones seno y coseno de 45° :

\begin{matrix} sen (225) = sen (180 + 45) \\ = - sen (45) \\ = - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} \cos (225) = \cos (180 + 45) \\ = - \cos (45) \\ = - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}

Por lo tanto:

$sen (225°) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$ y $\cos (225°) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

sen (240°) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

\cos (240°) = - \frac{1}{2}

Notemos que:

240° = 180° + 60°

Por otro lado, en las propiedades que se describen en la sección anterior, vimos que:

$sen (180 + α) = - sen (α)$

$\cos (180 + α) = - \cos (α)$

Aplicando dichas propiedades y los resultados que obtuvimos para las funciones seno y coseno de 60° :

\begin{matrix} sen (240) = sen (180 + 60) \\ = - sen (60) \\ = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} \cos (240) = \cos (180 + 60) \\ = - \cos (60) \\ = - \frac{1}{2} \end{matrix}

Por lo tanto:

$sen (240°) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ y $\cos (240°) = - \frac{1}{2}$

sen (270°) = -1

\cos (270°) = 0

En la figura, se ve claramente que el ángulo 270° está asociado con el punto (0, - 1)

Por lo tanto:

$sen (270°) = -1$ y $\cos (270°) = 0$

sen (300°) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

\cos (300°) = \frac{1}{2}

Notemos que:

Los ángulos 300° y 60° están asociados con la misma localización.

Por otro lado, en las propiedades que se describen en la sección anterior, vimos que:

$sen (-α) = - sen (α)$

$\cos (-α) = \cos (α)$

Aplicando dichas propiedades y los resultados que obtuvimos para las funciones seno y coseno de 60° :

\begin{matrix} sen (300) = sen (- 60) \\ = - sen (60) \\ = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} \cos (300) = \cos (- 60) \\ = \cos (60) \\ = \frac{1}{2} \end{matrix}

Por lo tanto:

$sen (300°) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ y $\cos (300°) = \frac{1}{2}$

sen (315°) = - \frac{1}{\sqrt{2}}

\cos (315°) = \frac{1}{\sqrt{2}}

Notemos que:

Los ángulos 315° y 45° están asociados con la misma localización.

Por otro lado, en las propiedades que se describen en la sección anterior, vimos que:

$sen (-α) = - sen (α)$

$\cos (-α) = \cos (α)$

Aplicando dichas propiedades y los resultados que obtuvimos para las funciones seno y coseno de 45° :

\begin{matrix} sen (315) = sen (- 45) \\ = - sen (45) \\ = - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} \cos (315) = \cos (- 45) \\ = \cos (45) \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}

Por lo tanto:

$sen (315°) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$ y $\cos (315°) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

sen (330°) = - \frac{1}{2}

\cos (330°) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Notemos que:

Los ángulos 330° y 30° están asociados con la misma localización.

Por otro lado, en las propiedades que se describen en la sección anterior, vimos que:

$sen (-α) = - sen (α)$

$\cos (-α) = \cos (α)$

Aplicando dichas propiedades y los resultados que obtuvimos para las funciones seno y coseno de 30° :

\begin{matrix} sen (330) = sen (- 30) \\ = - sen (30) \\ = - \frac{1}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} \cos (330) = \cos (- 30) \\ = \cos (30) \\ = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}

Por lo tanto:

$sen (330°) = - \frac{1}{2}$ y $\cos (330°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Funciones Seno y Coseno

Haz Click en Cualquiera de los Ángulos

Gráfica

Demostración

Para practicar ejercicios sobre seno y coseno de ángulos especiales haz click en el siguiente botón

Tablas y Gráficas de las Funciones Seno y Coseno

Para trazar la gráfica de las funciones seno y coseno, vamos a hacer una tabla de valores, usando los resultados obtenidos en la sección anterior.

Tabla y Gráfica de la Función Seno

α	0	30	60	90	120	150	180	210	240	270	300	330	360
sen(α)	0	0.5	0.87	1	0.87	0.5	0	-0.5	-0.87	-1	-0.87	-0.5	0

sinx

Tabla y Gráfica de la Función Coseno

α	0	30	60	90	120	150	180	210	240	270	300	330	360
cos(α)	1	0.87	0.5	0	-0.5	-0.87	-1	-0.87	-0.5	0	0.5	0.87	1

sinx

Ángulos en el plano

Ángulos en Posición Estándar

Recordemos que un ángulo está formado por un lado inicial, un lado terminal y el vértice, como se muestra en la figura:

sinx

En el sistema de coordenadas cartesianas, se dice que un ángulo está en posición estándar cuando el vértice está en el origen y el lado inicial está en el lado positivo del eje x.

sinx

Ejemplos:

Como vemos en los ejemplos de arriba, los ángulos positivos se miden en el sentido contrario a las manecillas del reloj; los ángulos negativos se miden en el sentido de las agujas del reloj.

Ángulos Coterminales

Los ángulos que tienen los mismos lados inicial y terminal, se llaman ángulos coterminales.

La medida de un ángulo, es la cantidad de rotación sobre el vértice del lado inicial sobre el lado terminal. Se tiene un tipo de medida específico para los ángulos la cual es los grados. En cálculo y en algunas otras áreas de las matemáticas, una medida más natural para representar la medida de un ángulo es los radianes y representa la cantidad que un ángulo se abre a lo largo del arco de un cárculo de radio uno, con centro en el vértice.

Ejemplos:

Ángulos Cuadrantales

Los ángulos en posición estándar cuyo lado terminal está en alguno de los ejes coordenados, se llaman ángulos cuadrantales.

Ejemplos:

Ángulos de Referencia

El ángulo de referencia α' de un ángulo α en posición estándar, es el ángulo agudo formado por el lado terminal de α y el eje x.

Ejemplos:

El valor absoluto del resultado de una función trigonométrica en cualquier ángulo es igual al resultado de esa función trigonométrica en su ángulo de referencia. Así el valor de una función trigonométrica para un ángulo que mide más de 90° (o menos que 0°) se puede determinar a partir de su ángulo de referencia. Claro hay que utilizar el cuadrante donde el ángulo está ubicado para determinar el signo correcto.

Periodicidad

Recuerda que podemos definir ángulos que describen más de una vuelta alrededor del círculo. Los valores de las funciones seno y coseno son los mismos para ángulos coterminales, por ejemplo sen(390°) = sen(30°). De esta forma los valores de la función se repetirán periódicamente en forma indefinida.

Una función es periódica si hay un intervalo positivo de la variable independiente para cual su gráfica se repite exactamente, o sea una función f es periódica si existe un valor positivo p tal que f (x+p) = f (x) para todo x. El valor p positivo menor tal que f (x+p) = f (x) para todo x se llama el periodo.

Ejemplos:

La gráfica siguiente muestra una función periódica, pues su gráfica se repite cada 180 unidades. Claro se repite cada 360 unidades, cada 540 unidades y cada múltiplo positivo de 180 también. Como 180 unidades es el valor positivo menor para lo cual la gráfica repite, decimos que el periodo es 180.

sin period

La función sen(x) es periódica, pues su gráfica se repite cada 360°. En este caso decimos que su periodo es de 360°

sin period

La función cos(x) es periódica, pues su gráfica se repite cada 360°. Las funciones seno y coseno tiene que ser periódicas porque las coordenadas en el círculo unitario tiene que repitir cada vuelta del círculo o sea cada 360°

sin period

Es importante notar que en cada periodo la gráfica es exactamente igual. La siguiente función, por ejemplo, no es periódica:

sin period

En la siguiente aplicación podemos apreciar la conexión entre la gráfica de la funcion coseno y el punto de intersección del lado terminal del ángulo y el círculo unitiario. Observa que el periodo de la función coseno tiene que corresponder a una vuelta completa del círculo. Cuando se mide en grados el periodo es 360°

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Resumen

Identificar los puntos de un círculo unitario y su relación a ángulos en posición estándar.
Evaluar funciones trigonométricas en ángulos especiales usando el círculo unitario y ángulos de referencia.
Determinar el periodo de una función periódica dada su gráfica y en particular determinar el periodo de cualquier función trigonométrica.

El Círculo Unitario y las Funciones Seno y Coseno

Objetivos

Introducción

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Funciones Trigonométricas: Seno y Coseno

Propiedades

Seno y Coseno de Ángulos Especiales

Tablas y Gráficas de las Funciones Seno y Coseno

Tabla y Gráfica de la Función Seno

Tabla y Gráfica de la Función Coseno

Ángulos en el plano

Ángulos en Posición Estándar

Ángulos Coterminales

Ángulos Cuadrantales

Ángulos de Referencia

Periodicidad