Identidades Trigonométricas

Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

Simplificar expresiones trigonométricas.
Verificar identidades trigonométricas.

En esta lección revisaremos las propiedades de las funciones trigonométricas que estudiamos anteriormente, desde el punto de vista algebraico. Utilizaremos estas propiedades para simplificar expresiones trigonométricas y verificar identidades trigonométricas.

Las identidades trigonométricas nos ayudan a simplificar expresiones complejas y de esta forma nos ayuda a comprender de mejor manera el significado de la expresión.

Identidades Trigonométricas Fundamentales

Una Identidad Trigonométrica es una ecuación que contiene funciones trigonométricas y que se cumple para todos los valores de la variable.

En la lección El Círculo Unitario y las Funciones Seno y Coseno estudiamos algunas identidades fundamentales, las cuales las podemos resumir en la siguiente tabla:

1	$\cos^{2} (α) + {sen}^{2} (α) = 1$
2	$\cos (-α) = \cos (α)$
3	$sen (-α) = - sen (α)$
4	$sen (180 - α) = sen (α)$
5	$\cos (180 - α) = - \cos (α)$
6	$\cos (180 + α) = - \cos (α)$
7	$sen (180 + α) = - sen (α)$

Simplificación de Expresiones Trigonométricas

Ejemplo 1:

Simplificar:

$sen (x) \cos^{2} (x) - sen (x)$

Solución:

	$sen (x) \cos^{2} (x) - sen (x)$
Factorizando sen(x)	$sen (x) (\cos^{2} (x) - 1)$
Usando la identidad $\cos^{2} (α) + {sen}^{2} (α) = 1$	$sen (x) (\cos^{2} (x) - (\cos^{2} (x) + {sen}^{2} (x)))$
	$sen (x) (\cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) - {sen}^{2} (x))$
Simplificando	$sen (x) (- {sen}^{2} (x))$
	$- {sen}^{3} (x)$

Ejemplo 2:

Simplificar:

$sen (x) + \cot (x) \cos (x)$

Solución:

	$sen (x) + \cot (x) \cos (x)$
Reescribiendo cot(x) = cos(x)/sen(x)	$sen (x) + \frac{\cos (x)}{sen (x)} \cos (x)$
	$\frac{{sen}^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{sen (x)}$
	$\frac{{sen}^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{sen (x)}$
Usando la identidad $\cos^{2} (α) + {sen}^{2} (α) = 1$	$\frac{1}{sen (x)}$

Ejemplo 3:

Simplificar:

$\frac{sen (x)}{\csc (x)} + \frac{\cos (x)}{\sec (x)}$

Solución:

	$\frac{sen (x)}{\csc (x)} + \frac{\cos (x)}{\sec (x)}$
Reescribiendo sec(x) y csc(x) en términos de seno y coseno	$\frac{sen (x)}{\frac{1}{sen (x)}} + \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)}}$
	${sen}^{2} (x) + \cos^{2} (x)$
Usando la identidad $\cos^{2} (α) + {sen}^{2} (α) = 1$	$1$

Ejemplo 4:

Simplificar:

$\frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} - 1$

Solución:

	$\frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} - 1$
Reescribiendo tan(x) y sec(x) en términos de seno y coseno	$\frac{2 + \frac{{sen}^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}} - 1$
	$\frac{\frac{2 \cos^{2} (x) + {sen}^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}} - 1$
	$2 \cos^{2} (x) + {sen}^{2} (x) - 1$
	$\cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) + {sen}^{2} (x) - 1$
	$\cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) + {sen}^{2} (x) - 1$
Usando la identidad $\cos^{2} (α) + {sen}^{2} (α) = 1$	$\cos^{2} (x) + 1 - 1$
Simplificando	$\cos^{2} (x)$

Verificación de Identidades Trigonométricas

Verificar una identidad trigonométrica consiste en demostrar que efectivamente ambos lados de la igualdad son equivalentes. Usaremos operaciones algebraicas e identidades trigonométricas conocidas para convertir uno de los lados de la ecuación exactamente en la forma en que está expresado el otro lado de la ecuación.

Ejemplo 1:

Verificar:

$\frac{\sec^{2} (x) - 1}{\sec^{2} (x)} = {sen}^{2} (x)$

Solución:

Partiendo del lado izquierdo de la ecuación	$\frac{\sec^{2} (x) - 1}{\sec^{2} (x)}$
Reescribiendo sec(x) en términos de coseno	$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$
	$\frac{\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$
	$\frac{\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$
Simplificando	$1 - \cos^{2} (x)$
Usando la identidad $\cos^{2} (α) + {sen}^{2} (α) = 1$	$\cos^{2} (α) + {sen}^{2} (α) - \cos^{2} (x)$
Simplificando obtenemos el lado derecho de la ecuación	${sen}^{2} (x)$

Ejemplo 2:

Verificar:

$\frac{1}{1 - sen (x)} + \frac{1}{1 + sen (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

Solución:

Partiendo del lado izquierdo de la ecuación	$\frac{1}{1 - sen (x)} + \frac{1}{1 + sen (x)}$
Combinando las fracciones	$\frac{1 + sen (x) + 1 - sen (x)}{(1 - sen (x)) (1 + sen (x))}$
Simplificando	$\frac{2}{1 - {sen}^{2} (x)}$
Usando la identidad $\cos^{2} (α) + {sen}^{2} (α) = 1$	$\frac{2}{\cos^{2} (α) + {sen}^{2} (α) - {sen}^{2} (x)}$
Simplificando	$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$
Usando la definición de sec(x) obtenemos el lado derecho de la ecuación	$2 \sec^{2} (x)$

Para practicar ejercicios sobre identidades trinométricas haz click en el siguiente botón

Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

Simplificar expresiones trigonométricas.
Verificar identidades trigonométricas.

Identidades Trigonométricas

Objetivos

Introducción

Identidades Trigonométricas Fundamentales

Simplificación de Expresiones Trigonométricas

Verificación de Identidades Trigonométricas

Resumen