Identidades trigonométricas: ángulo doble y ángulo mitad

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Objetivos

Esta lección presenta los conceptos y destrezas básicas que te permitirán:

• Deducir las identidades trigonómetricas del ángulo doble y ángulo mitad.
• Aplicar las identidades triginométricas para el ángulo doble y ángulo mitad.

Ángulo doble

$\mathrm{sen}\left(2x\right)$	$\mathrm{sen}\left(2x\right)=2\mathrm{sen}\left(x\right)\cos \left(x\right)$	$\begin{array}{cc}\mathrm{sen}2x& =\mathrm{sen}(x+x)\\ & =\mathrm{sen}\left(x\right)\cos \left(x\right)+\cos \left(x\right)\mathrm{sen}\left(x\right)\\ & =2\mathrm{sen}\left(x\right)\cos \left(x\right)\end{array}$
$\begin{array}{c}\cos \left(2x\right)\end{array}$	$\begin{array}{cc}\cos \left(2x\right)& ={\cos }^2\left(x\right)-{\mathrm{sen}}^2\left(x\right)\end{array}$ Despejando la anterior ecuación se pueden obtener las siguientes identidades: $\begin{array}{cc}\cos \left(2x\right)& =1-2{\mathrm{sen}}^2\left(x\right)\\ \cos \left(2x\right)& =2{\cos }^2\left(x\right)-1\end{array}$	$\begin{array}{cc}\cos \left(2x\right)& =\cos (x+x)\\ & =\cos \left(x\right)\cos \left(x\right)-\mathrm{sen}\left(x\right)\mathrm{sen}\left(x\right)\\ & ={\cos }^2\left(x\right)-{\mathrm{sen}}^2\left(x\right)\end{array}$
$\tan \left(2x\right)$	$\tan \left(2x\right)=\frac{2\tan \left(x\right)}{1-{\tan }^2\left(x\right)}$	$\begin{array}{cc}\tan \left(2x\right)& =\tan (x+x)\\ & =\frac{\tan \left(x\right)+\tan \left(x\right)}{\mathrm{1-tan}\left(x\right)\tan \left(x\right)}\\ & =\frac{2\tan \left(x\right)}{1-{\tan }^2\left(x\right)}\end{array}$

Fórmulas del ángulo doble	$$\sin \left(2x\right)$$	$\cos \left(2x\right)$	$\tan \left(2x\right)$
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Identidad		Deducción Nota: La deducción realiza uitlizando las identidades de suma de ángulos.

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Fórmulas para reducir la potencia

De las ecuaciones de $\begin{array}{c}\cos 2x\end{array}$ podemos obtener:

${\mathrm{sen}}^2\left(x\right)=\frac{1-\cos \left(2x\right)}{2}$

${\cos }^2\left(x\right)=\frac{1+\cos \left(2x\right)}{2}$

${\tan }^2\left(x\right)=\frac{1-\cos \left(2x\right)}{1+\cos \left(2x\right)}$

Ejemplos:

1. Encontrar sen(2x) y cos(2x) dada la información: sec(x)=2, x está en el IV cuadrante.

Solución:

a. De la definición de la función secante sabemos que: $\sec \left(x\right)=\frac{1}{\cos \left(x\right)}$ , entonces podemos hallar fácilmente cosx:
$\frac{1}{\cos \left(x\right)}$ =2 , por lo tanto despejando obtenemos: $\cos \left(x\right)=\frac{1}{2}$

Por la identidad de pitágoras sabemos que: $\mathrm{senx}=-\sqrt{1-{\cos }^2\left(x\right)}$ , se utiliza la raíz negativa ya que x está en el cuarto cuadrante. Con esta fórmula podemos hallar fácilmente sen(x):

$\begin{array}{cc}\left(x\right)& =-\sqrt{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}\\ & =-\sqrt{1-\frac{1}{4}}\\ & =-\sqrt{\frac{3}{4}}\\ & =-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$

De las fórmulas antes mostradas sabemos que $\mathrm{sen}\left(2x\right)=2\mathrm{sen}\left(x\right)\cos \left(x\right),\; entonces:$

$\begin{array}{cc}\mathrm{sen}\left(2x\right)& =2(-\frac{\sqrt{3}}{2})\frac{1}{2}\\ & =-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$

igualmente sabemos que $\cos \left(2x\right)={\cos }^2\left(x\right)-{\mathrm{sen}}^2\left(x\right)$, entonces:

$\begin{array}{cc}\cos \left(2x\right)& ={\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)}^2\\ & =\frac{1}{4}-\frac{3}{4}\\ & =-\frac{2}{4}\\ & =-\frac{1}{2}\end{array}$

2. Usar las fórmulas para reducir la potencia, reescribiendo la expresión en términos del primer ... de coseno: ${\cos }^2\left(x\right){\mathrm{sen}}^2\left(x\right)$

Solución:

$\begin{array}{cc}{\cos }^2\left(x\right){\mathrm{sen}}^2\left(x\right)& =\left(\frac{1+\cos \left(2x\right)}{2}\right)\left(\frac{1-\cos \left(2x\right)}{2}\right)\\ & =\frac{1-{\cos }^2\left(2x\right)}{4}\\ & =(\frac{1}{4}-\frac{{\cos }^2\left(2x\right)}{4})\\ & =\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left(\frac{1+\cos 4\left(x\right)}{2}\right)\\ & =\frac{1}{4}-\frac{\left(1+\cos \left(4x\right)\right)}{8}\\ & =\frac{2-1-\cos \left(4x\right)}{8}\\ & =\frac{1-\cos \left(4x\right)}{8}\end{array}$

3. Reescribir ${\mathrm{sen}}^{4}x$ como una suma de primeras potencias de coseno.

Solución:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{sen}}^4\left(x\right)& ={\left({\mathrm{sen}}^2\right(x\left)\right)}^2\\ & ={\left(\frac{1-\cos 2\left(x\right)}{2}\right)}^2\\ & =\frac{1}{4}\left(1-2\cos \left(2x\right)+{\cos }^2\left(2x\right)\right)\\ & =\frac{1}{4}\left(1-2\cos \left(2x\right)+\left(\frac{1+\cos \left(4x\right)}{2}\right)\right)\\ & =\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\cos 2\left(x\right)+\frac{1}{8}\left(1+\cos \left(4x\right)\right)\\ & =\frac{2-4\cos \left(2x\right)+1+\cos \left(4x\right)}{8}\\ & =\frac{1}{8}\left(3-4\cos \left(2x\right)+\cos \left(4x\right)\right)\end{array}$

4. Graficar

$\begin{array}{cc}y& =4{\cos }^2\left(x\right)-2\\ & =4\left(\frac{1+\cos \left(2x\right)}{2}\right)-2\\ & =2+2\cos \left(2x\right)-2\\ & =2\cos \left(2x\right)\end{array}$

Solución:

Amplitud: 2
Periodo: $\frac{\mathrm{2\pi }}{2}=\mathrm{\pi }$

5. Encontrar sen3x en términos de senx.

$\begin{array}{cc}\mathrm{sen}\left(3x\right)& =\mathrm{sen}(2x+x)\\ & =\mathrm{sen}\left(2x\right)\cos \left(x\right)+\cos \left(2x\right)\mathrm{sen}\left(x\right)\\ & =2\mathrm{sen}\left(x\right)\cos \left(x\right)\cos \left(x\right)+\left(1-2{\mathrm{sen}}^2\left(x\right)\right)\mathrm{sen}\left(x\right)\\ & =2\mathrm{sen}\left(x\right){\cos }^2\left(x\right)+\mathrm{sen}\left(x\right)-2{\mathrm{sen}}^3\left(x\right)\\ & =2\mathrm{sen}\left(x\right)\left(1-{\mathrm{sen}}^2\left(x\right)\right)+\mathrm{sen}\left(x\right)-2{\mathrm{sen}}^3\left(x\right)\\ & =2\mathrm{sen}\left(x\right)-2{\mathrm{sen}}^3\left(x\right)+\mathrm{sen}\left(x\right)-2{\mathrm{sen}}^3\left(x\right)\\ & =3\mathrm{sen}\left(x\right)-4{\mathrm{sen}}^3\left(x\right)\end{array}$

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Fórmulas del ángulo medio

$\mathrm{sen}\left(\frac{u}{2}\right)$	$\mathrm{sen}\left(\frac{u}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \left(u\right)}{2}}$	Recuerda que: ${\cos }^2\left(x\right)=\frac{1+\cos \left(2x\right)}{2}$ Entonces: $\mathrm{cosx}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \left(2x\right)}{2}}$ , $\mathrm{Si}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}x=\left(\frac{u}{2}\right)‚\hspace{0.5em}entonces\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\cos \left(\frac{u}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos 2\left(\frac{u}{2}\right)}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \left(u\right)}{2}}$
$\cos \left(\frac{u}{2}\right)$	$\mathrm{sen}\left(\frac{u}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \left(u\right)}{2}}$	Recuerda que: ${\mathrm{sen}}^2\left(x\right)=\frac{1-\cos \left(2x\right)}{2}$ Entonces: $\mathrm{senx}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \left(2x\right)}{2}}$ , $\mathrm{Si}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}x=\left(\frac{u}{2}\right)‚\hspace{0.5em}entonces\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\mathrm{sen}\left(\frac{u}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos 2\left(\frac{u}{2}\right)}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \left(u\right)}{2}}$

Fórmulas del ángulo mitad	$$\mathrm{sen}\left(\frac{u}{2}\right)$$	$$\cos \left(\frac{u}{2}\right)$$
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Identidad Nota: se debe elegir el signo que corresponda al cuadrante donde se encuentra el ángulo $\frac{u}{2}$		Prueba

Ejemplos:

1. Hallar el valor exacto de $\mathrm{sen}\left(\frac{\mathrm{5\pi }}{6}\right)$

Solución:

$\frac{\mathrm{5\pi }}{6}$ está en el I cuadrante, entonces elegimos el signo +

$\begin{array}{cc}\mathrm{sen}\left(\frac{\mathrm{5\pi }}{6}\right)& =\sqrt{\frac{1-\cos \left(\frac{\mathrm{5\pi }}{6}\right)}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{1-\left(-\cos \left(\frac{\mathrm{5\pi }}{6}\right)\right)}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}\end{array}$

2. Hallar el valor exacto de sen(22.5°)

Solución:

Como 22.5° es la mitad de 45°, el ángulo se encuentra en el primer cuadrante por lo tanto la función seno tiene signo positivo.

$\begin{array}{cc}\mathrm{sen}\left(\frac{\mathrm{45°}}{2}\right)& =\sqrt{\frac{1-\cos \left(\mathrm{45°}\right)}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}\\ & =\frac{1}{2}\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)\end{array}$

3. Encontrar $\mathrm{sen}\left(\frac{x}{2}\right)$ si $\cos \left(x\right)=-\frac{4}{5}$ y 180°< x< 270.

Solución:

Ya que 180°< x< 270 entonces x está en el tercer cuadrante y por lo tanto $\frac{x}{2}$ está en el segundo cuadrante. Entonces el signo de la función seno será positivo. $\begin{array}{cc}\mathrm{sen}\left(\frac{x}{2}\right)& =\sqrt{\frac{1-\left(\cos x\right)}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{5+4}{10}}\\ & =\sqrt{\frac{9}{10}}\\ & =\frac{3\sqrt{10}}{10}\end{array}$

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Para practicar ejercicios sobre identidades trinométricas de ángulo doble y ángulo medio haz click en el siguiente botón

Identidades

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Resumen

Esta lección presentó los conceptos y destrezas básicas que te permitirán:

• Deducir las identidades trigonómetricas del ángulo doble y ángulo mitad.
• Aplicar las identidades triginométricas para el ángulo doble y ángulo mitad.

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