Si ABC es un triángulo con lados a,b y c, entonces:

$\frac{a}{\mathrm{sen\; A}}=\frac{b}{\mathrm{sen\; B}}=\frac{c}{\mathrm{sen\; C}}$

Calculamos la altura h del triángulo ABC (Figura1(a)) en función del seno del ángulo A.

$\mathrm{senA=}\frac{h}{b}\Rightarrow h=b\mathrm{senA}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{area(ABC)}& =\frac{1}{2}c\left(b\mathrm{senA}\right)\\ & =\frac{1}{2}cb\mathrm{senA}\end{array}$

Calculamos la altura h del triángulo ABC (Figura1(a)) en función del seno del ángulo B.

sen(B)= $\frac{h}{a}\Rightarrow h=a\mathrm{senB}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{area(ABC)}& =\frac{1}{2}c\left(a\mathrm{senB}\right)\\ & =\frac{1}{2}ca\mathrm{senB}\end{array}$

Calculamos la altura h del triángulo ABC (Figura1(b)) en función del seno del ángulo C, ya que

En este caso ya que C es un ángulo obtuso, es más fácil calcular el seno de 180°-C. Para esto prolongamos el lado a del triángulo (Figura1(b)).

sen(180°-C)= $\frac{h}{b}\Rightarrow h=c\mathrm{sen}\left(\mathrm{180°-C}\right)$

En la lección del círculo unitario vimos que sen(180°α)=sen(α), por lo tanto:

sen(C) = sen(180°-C)$\Rightarrow h=c\mathrm{senC}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{area(ABC)}& =\frac{1}{2}a\left(b\mathrm{senC}\right)\\ & =\frac{1}{2}ab\mathrm{senC}\end{array}$

Igualando las fórmulas halladas para el area del triángulo ABC en función de los diferentes ángulos tenemos:

$\frac{1}{2}cb\mathrm{sen}\left(A\right)=\frac{1}{2}ca\mathrm{sen}\left(B\right)=\frac{1}{2}ab\mathrm{sen}\left(C\right)$

Si multiplicamos los términos de estas igualdades por: $\frac{2}{\left(abc\right)}$ , obtendremos la ley de senos:

$\left(\frac{2}{\left(abc\right)}\right)\frac{1}{2}cb\mathrm{sen}\left(A\right)=\left(\frac{2}{\left(abc\right)}\right)\frac{1}{2}ca\mathrm{sen}\left(B\right)=\left(\frac{2}{\left(abc\right)}\right)\frac{1}{2}ab\mathrm{sen}\left(C\right)$

Simplificando:

$\frac{a}{\mathrm{sen\; A}}=\frac{b}{\mathrm{sen\; B}}=\frac{c}{\mathrm{sen\; C}}$

Sabemos que la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180°, por lo tanto para hallar el ángulo C, utilizamos los ángulos A y B .

C = 180°-(52°+70°)
C = (180°-122)° =58°

Encontrar el lado opuesto al ángulo A, llamémoslo " $a$":

$\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{sen}\left(\mathrm{58°}\right)}{26.7}& =\frac{\mathrm{sen}\left(\mathrm{52°}\right)}{a}\\ a& =\frac{26.7\mathrm{sen}\left(\mathrm{52°}\right)}{\mathrm{sen}\left(\mathrm{58°}\right)}\\ a& =24.8\end{array}$

Encontrar el lado opuesto al ángulo B, llamémoslo " $b$":

$\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{sen}\left(\mathrm{70°}\right)}{b}& =\frac{\mathrm{sen}\left(\mathrm{58°}\right)}{26.7}\\ b& =\frac{26.7\mathrm{sen}\left(\mathrm{70°}\right)}{\mathrm{sen}\left(\mathrm{58°}\right)}\\ b& =29.6\end{array}$

$\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{sen}\left(\mathrm{30°}\right)}{11}& =\frac{\mathrm{sen}\left(A\right)}{20}\\ \mathrm{sen}\left(A\right)& =20\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{11}\right)\\ \mathrm{sen}\left(A\right)& =\frac{10}{11}\\ A& =\mathrm{arcsen}\left(\frac{10}{11}\right)\\ A& =\mathrm{65.38°}\end{array}$

La función seno tiene el mismo valor para el ángulo 180°-65.38°=114.2°, por lo tanto A tiene dos posibles valores: 65.38° o 114.2°

Entonces, para el ángulo B también tenemos dos posibles soluciones:

Solución 1:

Si A=65.38°, entonces:

$\begin{array}{cc}\mathrm{B\prime }& =180-30-65.38\\ \mathrm{B\prime }& =84.62\end{array}$

Por lo tanto el lado b′sería:

$\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{sen}\left(\mathrm{30°}\right)}{11}& =\frac{\mathrm{sen}\left(\mathrm{84.62°}\right)}{\mathrm{b\prime }}\\ \mathrm{b\prime }& =\frac{11\mathrm{sen}\left(\mathrm{84.62°}\right)}{\mathrm{sen}\left(\mathrm{30°}\right)}\\ \mathrm{b\prime }& \approx 21.9\end{array}$

Solución 2:

Si A=114.2°, entonces:

$\begin{array}{cc}\mathrm{B″}& =180-30-114.2\\ \mathrm{B″}& =35.8\end{array}$

Por lo tanto el lado b″ sería:

$\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{sen}\left(\mathrm{30°}\right)}{11}& =\frac{\mathrm{sen}\left(\mathrm{35.8°}\right)}{\mathrm{b″}}\\ \mathrm{b″}& =\frac{11\mathrm{sen}\left(\mathrm{35.8°}\right)}{\mathrm{sen}\left(\mathrm{30°}\right)}\\ \mathrm{b″}& \approx 12.9\end{array}$