Ley de Cosenos

Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

Entender la geometria de la Ley de Cosenos.
Conseguir los lados de un triángulo utilizando la Ley de Cosenos.
Conseguir los ángulos de un triángulo utilizando la Ley de Cosenos.
Reconocer situaciones en donde se usa la Ley de Cosenos.

Introducción

Considera el triángulo ABC con lados a, b , c y altura AD, mostrado en la siguiente figura:

triangle

En el triángulo rectángulo ADC tenemos lo siguiente:

Por el teorema de Pitágoras:		$b^{2} = {AD}^{2} + {DC}^{2}$	(1)
Por otro lado, como vimos en Trigonometría de Triángulos Rectángulos:		$\cos (C) = \frac{AC}{b}$
	de donde	$AC = b \cos (C)$	(2)

En el triángulo rectángulo ABD tenemos lo siguiente:

Por el teorema de Pitágoras:	$c^{2} = {AD}^{2} + {BD}^{2}$
	$c^{2} = {AD}^{2} + {(a - CD)}^{2}$
elevando al cuadrado	$c^{2} = {AD}^{2} + (a^{2} - 2 a CD + {CD}^{2})$
reagrupando	$c^{2} = a^{2} + ({AD}^{2} + {CD}^{2}) - 2 a CD$
utilizando los resultados (1) y (2) obtenidos arriba	$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Podemos aplicar el mismo procedimiento utilizando las alturas a los otros lados del triángulo para obtener los resultados análogos.

Este resultado se conoce como la Ley de Cosenos. En esta lección utilzaremos la La Ley de Cosenos para resolver triángulos, y aprenderemos a reconocer las situaciones en las que es posible aplicarla.

Ley de Cosenos

Dado un triángulo ABC, con lados a, b y c, se cumple:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Aplicación sobre la ley de Cosenos.

El capitán de un barco divisa no muy lejos de su posición una isla y un avión.

Éste calcula de manera aproximada las distancias del barco a la isla y al avión y ángulo que se forma entre el avión, el barco y la isla, tal y como se muestra en el siguiente applet.

El capitán desea estimar la distancia entre el avión y la isla, observa en el applet como el capitán podría resolver su dilema.

Desplaza el avión y observa como los datos varían.

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Usando la Ley de Cosenos para Conseguir un lado de un Triángulo

Ejemplo 1:

En el triángulo de la figura, hallar la longitud del lado rotulado con x

ex1lal

Solución:

Como conocemos dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

$x^{2} = 10^{2} + 6^{2} - 2 (10) (6) \cos (120°)$

$x^{2} = 100 + 36 - 120 (- \frac{1}{2})$

$x^{2} = 100 + 36 + 60$

$x^{2} = 196$

$x = 14$

Ejemplo 2:

En el triángulo de la figura, hallar la longitud del lado rotulado con x

ex1lal

Solución:

Como conocemos dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

$x^{2} = 6^{2} + 10^{2} - 2 (6) 10 \cos (45°)$

$x^{2} = 36 + 100 - 120 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$x^{2} = 136 - 60 \sqrt{2}$

$x^{2} \approx 51.15$

$x \approx 7.15$

Cuando conocemos dos lados del triángulo y el ángulo entre ellos, siempre es posible encontrar el tercer lado aplicando la Ley de Cosenos.

Es importante notar que cuando aplicamos la ley de cosenos no hay ambigüedad en el resultado del ángulo. Como sabemos, un ángulo de un triángulo puede medir a lo más 180°. Así, si el coseno del ángulo es positivo sabemos que está en el primer cuadrante, es decir, entre 0° y 90°. Si el coseno del ángulo es negativo sabemos que está en el segundo cuadrante, es decir, entre 90° y 180°.

Usando la Ley de Cosenos para Conseguir los ángulos del Triángulo

Ejemplo 1:

En el triángulo de la figura, hallar los ángulos x y y

ex1lal

Solución:

Como conocemos los tres lados del triángulo, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

Hallando x

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

$12^{2} = 6^{2} + 14^{2} - 2 (6) (14) \cos (x)$

$144 = 36 + 196 - 168 \cos (x)$

$168 \cos (x) = 36 + 196 - 144$

$\cos (x) = \frac{88}{168}$

$x \approx 58.41°$

Hallando y

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

$14^{2} = 12^{2} + 6^{2} - 2 (12) (6) \cos (y)$

$196 = 144 + 36 - 144 \cos (y)$

$144 \cos (y) = 144 + 36 - 196$

$\cos (y) = - \frac{16}{144}$

$y \approx 96.38°$

Situaciones para la Aplicación de la Ley de Cosenos

Como vimos en los ejemplos, podemos resumir la ley de cosenos de la siguiente manera:

La Ley de Cosenos nos permite expresar un lado de un triángulo en términos de los otros dos lados y el coseno del ángulo entre estos dos lados.

Cuando resolvemos problemas que involucran triángulos podemos encontrar los siguientes casos:

Si el triángulo es rectángulo, la mejor forma de resolverlo es usando las razones trigonométricas que aprendimos en la lección Trigonometría de Triángulos Rectángulos.

Si el triángulo es oblicuo, entonces se pueden presentar los siguientes casos:

Caso

Aplicabilidad de la Ley de Cosenos

1. Se conoce un lado y dos ángulos

ALA

En el ejemplo, el lado conocido es c y los ángulos conocidos son A y B. Escribiendo las fórmulas de la Ley de Cosenos, tenemos:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Como vemos, en todos los casos, la fórmula involucra dos variables desconocidas, por lo tanto, no es posible resolver el triángulo usando la ley de cosenos.

LAA

En el ejemplo, el lado conocido es c y los ángulos conocidos son A y C. Escribiendo las fórmulas de la Ley de Cosenos, tenemos:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Como vemos, en todos los casos, la fórmula involucra dos variables desconocidas, por lo tanto, no es posible resolver el triángulo usando la ley de cosenos.

2. Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de estos lados

ALA

LLA

En el ejemplo, los lados conocidos son a y c y el ángulo conocido es el opuesto al lado c, C. Escribiendo las fórmulas de la Ley de Cosenos, tenemos:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

En las dos primeras ecuaciones, la fórmula involucra dos variables desconocidas. La tercera ecuación, al ser de segundo grado en la variable desconocida, la cual podría generar dos posibles respuestas.

En conclusión, no es posible resolver el triángulo usando la ley de cosenos.

3. Se conocen dos lados y el ángulo entre ellos

ALA

LAL

Este caso es ideal para aplicar la ley de cosenos. En el ejemplo, podemos obtener el lado desconocido a del triángulo utilizando la fórmula:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Una vez obtenido el valor de a, fácilmente podemos obtener el valor de los otros ángulos usando la Ley de Senos y el complemento a 180°.

En conclusión, en este caso si se puede aplicar la ley de cosenos.

4. Se conocen los tres lados (LLL)

LLL

Si se conocen los tres lados del triángulo, podemos aplicar la ley de cosenos, para encontrar cualquiera de los 3 ángulos:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Una vez obtenido el valor del ángulo, fácilmente podemos obtener el valor de los otros ángulos usando la Ley de Senos y el complemento a 180°.

En conclusión, en este caso si se puede aplicar la ley de cosenos.

Para practicar ejercicios sobre la Ley de Senos haz click en alguno de los siguiente botones

Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

Entender la geometria de la Ley de Cosenos.
Conseguir los lados de un triángulo utilizando la Ley de Cosenos.
Conseguir los ángulos de un triángulo utilizando la Ley de Cosenos.
Reconocer situaciones en donde se usa la Ley de Cosenos.