Variación Inversa

Objetivos

Al final de esta lección, debes ser capaz de:

Reconocer una relación de variación inversa
Encontrar la fórmula de una relación de variación inversa
Resolver problemas verbales asociadas con variaciones inversas

Introducción

# trabajadores	1	2	3	4
Horas para completar un trabajo	12	6	4	3

La tabla anterior muestra la relación entre el número de de trabajadores y la cantidad de horas necesarias para completar el trabajo si se asume que un solo trabajador necesita 12 horas para completar el trabajo. En esta tabla, se puede concluir que la cantidad de horas necesarias para completar el trabajo es igual a 12 dividido entre el número de trabajadores. En la aplicación que aparece abajo, mueve el botón hasta que k sea igual a 12 y vas a ver la grafica de $y = \frac{12}{x}$ . Puedes verificar que esta gráfica contiene todos los puntos de la tabla anterior.

Nota: Mientras el número de trabajadores se incrementa, el número de horas para completar el trabajo disminuye.

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Velocidad (mph)	1	2	4	8
Horas para completar la vuelta	8	4	2	1

Sarah va a caminar un tramo de ocho millas. La tabla anterior muestra la relación entre la velocidad con que camina y el número de horas requeridas para completar la caminata (asumimos que la velocidad es constante). De esta tabla, podemos ver que el número de horas es igual a 8 dividido entre su velocidad. En la aplicación de arriba, mueve el botón hasta que k sea igual a 8 y vas a ver la grafica de $y = \frac{8}{x}$ . Puedes verificar que esta gráfica contiene todos los puntos de la tabla anterior.

Nota: Mientras ella incrementa su velocidad, el número de horas para completar la caminata disminuye.

# total de niños	1	2	5	10
# galletas para cada niño	10	5	2	1

En una fiesta de cumpleaños hay 10 galletas para distribuir equitativamente a los niños. La tabla anterior muestra la relación entre el número total de niños y el número de galletas correspondiente a cada niño.
De esta tabla, podemos ver que el número de galletas correspondiente a cada niño es igual a 10 dividido entre el total de niños en la fiesta. En la aplicación de arriba, mueve el botón hasta que k sea igual a 10 y vas a ver la gráfica de $y = \frac{10}{x}$ . Puedes verificar que esta gráfica contiene todos los puntos de la tabla anterior.

Nota: Mientras el número total de niños aumenta, el número de galletas correspondiente a cada niño disminuye.

En todas estas relaciones, una variable es igual a una constante diferente de 0 dividida por otra variable. Debido a que cuando una variable aumenta la otra disminuye, tales relaciones se denominan proporciones inversas o variaciones inversas.

Definición

Dadas dos variables x y y, las proposiciones

varía inversamente con

es inversamente proporcional a

significan que $y = \frac{k}{x}$ , para algún número real fijo diferente de cero k. La constante k es llamada constante de variación o constante de proporcionalidad.

Pasos para hallar la Fórmula para Relaciones de Variación Inversa

Las relaciones de variación inversa tienen la forma $y = \frac{k}{x}$ donde x y y son variables y k es una constante diferente de cero. Esta es una relación entre dos variables cuyo producto es una constante. La fórmula para una variación inversa puede ser encontrada siguiendo los siguientes pasos:

Paso 1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación inversa

y es inversamente proporcional a x significa que

$y = \frac{k}{x}$

Paso 2: Sustituir las variables conocidas para encontrar k.

Paso 3: Sustituir k y escribir la fórmula.

Ejemplos

Ejemplo1

r es inversamente proporcional a s. Si r = 15 donde s = 3, luego escribir la fórmula para la relación entre r y s.

Paso 1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación inversa.

r es inversamente proporcional a s significa

$r = \frac{k}{s}$

Paso 2: Sustituir las variables conocidas para encontrar k.

$15 = \frac{k}{3}$

k =15 · 3 = 45

Ppaso 3: Sustituir k y escribir la fórmula.

$r = \frac{45}{s}$

Conclusión: la fórmula para expresar la relación entre r y s is $r = \frac{45}{s}$

Ejemplo 2

c varía inversamente con d. Si c = 100 donde d = 0.2, luego escribir la fórmula para la relación entre c y d.

Paso 1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación inversa

c varía inversamente con d , significa:

$c = \frac{k}{d}$

Paso 2: Sustituir las variables conocidas para encontrar k.

$100 = \frac{k}{0.2}$

k =100 · 0.2=20

Step 3: Sustituir k y escribir la fórmula.

$c = \frac{20}{d}$

Conclusión: la fórmula para expresar la relación entre c y d es

c = \frac{20}{d}Pasos para Resolver Problemas Simples de Variación InversaLos problemas simples de variación inversa consisten en encontrar una fórmula y verificar lo que pasa con una cantidad cuando cambiamos la otra cantidad del problema.Paso1: Encontrar la fórmula. Step 2: Identificar las variables conocidas y sustituir sus valores en la fórmula. Step 3: Resolver para la variable desconocida.EjemploEjemplo 1f es inversamente proporcional a g . Si f = 5 cuando g = 25, luego encontrar el valor de g dondef = 15.Paso 1: Encontrar la fórmula. 1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación inversa. f es inversamente proporcional a g significa f = \frac{k}{g} 2: Sustituir las variables conocidas para encontrar k. 5 = \frac{k}{25} k =5 · 25 = 125 3: Sustituir k  y escribir la fórmula. f = \frac{125}{g} Paso 2: Identificar las variables conocidas y sustituir sus valores en la fórmula. 10 = \frac{125}{g} Paso 3: Resolver para la variable desconocida. g = 12.5Conclusión: g = 12.5 when f = 10.Ejemplo 2t varía inversamente con q . If t = 240 cuando q = 0.01, luego encontrar el valor de t donde q = 8Paso 1: Encontrar la fórmula 1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación inversa. t varía inversamente con q significa t = \frac{k}{q} 2: Sustituir las variables conocidas para encontrar k. 240 = \frac{k}{0.01} k =240 · 0.01 = 2.4 3: Sustituir k y escribir la fórmula. t = \frac{2.4}{q} Paso 2: Identificar las variables conocidas y sustituir sus valores en la fórmula t = \frac{2.4}{8} Paso 3: Resolver para la variable desconocida. t = 0.3Conclusión: t = 0.3 when q = 8Pasos para Resolver Problemas Verbales de Variación InversaLos Problemas Verbales de Variación Inversa son problemas donde las cantidades involucradas tienen nombres, pero la forma de resolverlos no es diferente a la de la ultima secció. Entonces los pasos para resolverlos son los mismos.Paso 1: Encontrar la fórmula. Step 2: Identificar las variables conocidas y sustituir sus valores en la fórmula. Paso 3: Resolver para la variable desconocida.EjemplosEjemplo 1Se tiene un rectángulo con área constante. La longitud del rectángulo varía inversamente con su ancho. Si la longitud de un rectángulo es de 20 pies cuando el ancho es de 8 pies, encontrar la longitud del rectángulo cuando el ancho es de 10 pies.Paso 1: Encontrar la fórmula. 1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación inversa. La longitud de un rectángulo varía inversamente al ancho, significa longitud = \frac{k}{ancho} 2: Sustituir las variables conocidas para encontrar k. 20 = \frac{k}{8} k =20 · 8 = 160 3: Sustituir  k y escribir la fórmula. longitud = \frac{160}{ancho} Paso 2: Identificar las variables conocidas y sustituir sus valores en la fórmula. longitud = \frac{160}{10} Paso 3: Resolver para la variable desconocida. longitud = 16Conclusion: La longitud de un rectángulo cuya área es de 160 pies cuadrados es de 16 cuando su ancho es de 10.Ejemplo 2El tiempo para completar un proyecto es inversamente proporcional al número de personas que están trabajando en  el proyecto. Un determinado proyecto puede ser completado por 5 trabajadores en 24 días. Con el fin de terminar el proyecto antes, la empresa planea contratar a más trabajadores. ¿Cuántos trabajadores se necesitan para terminar el proyecto en 15 días?Paso 1: Encontrar la fórmula 1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación inversa. El tiempo para hacer un proyecto es inversamente proporcional al número de trabajadores haciendo el proyecto, significa tiempo = \frac{k}{# trbajadores} 2: Sustituir las variables conocidas para encontrar k. 24 = \frac{k}{5} k =24 · 5 = 120 3: Sustituir  k y escribir la fórmula. tiempo = \frac{120}{# trabajadores} Paso 2: Identificar las variables conocidas y sustituir sus valores en la fórmula. 15 = \frac{120}{# trabajadores} Paso 3: Resolver para la variable desconocida. # trabajadores = 8Conclusión: La compañía necesita 8 trabajadores para terminar el proyecto en 15 dias.ResumenYa que has terminado esta lección, debes ser capaz de: Reconocer una relación de variación inversa Encontrar la fórmula de una relación de variación inversa Resolver problemas verbales asociadas con variaciones inversas