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Perímetro y Área de polígonos

Objetivos:

Interpretar, representar o crear figuras geomètricas planas.
Dibujar figuras geomètricas dada una descripción matemática.
Calcular perímetros y áreas de las figuras planas: triángulos, cuadrilateros, círculos.

Introducción

El perímetro de un polígono es la suma de la longitud de cada uno de los lados. Las unidades para el perímetro representan longitud o distancia, y son singulares por que tiene una sola dimensión. Las unidades de longitud son: pulgadas, pies, millas, centímetros, metros, kilometros, etc.

El área de un polígono es la medida interna en dos dimensiones de su superficie plana. Las unidades de área representan dos dimensiones y son cuadradas y son: pies cuadrados (pies $^{2}$ ), metros cuadrados (m $^{2}$ ) unidades especiales como cuerdas, para medir las superficies de las fincas, etc.

A continuación se discuten el perímetro y área de algunos polígonos especiales:

Triángulos

Un triángulo es un polígono que es una porción del plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos y que tiene tres lados y tres ángulos. Los ángulos se denotan por letras griegas o mayúsculas.

La Altura es la perpendicular trazada desde un vértice, al lado opuesto o a su prolongación, en la figura anterior es el segmento DA.

Clasificación de triángulos

Isósceles el que tiene dos lados iguales y las medidas de los ángulos a los lados opuestos son iguales.

Equilátero el que tiene sus tres lados iguales y las medidas de los ángulos son iguales .

Escaleno el que tiene sus tres lados diferentes y las medidas de los ángulos son diferentes.


AB= CA	AB= BC=CA	AB?BC?CA

Triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto cuya medida es de 90 grados: Un cateto es la base y el otro es la altura en el cálculo del área del triángulo.

Triangulo acutángulo Triángulo cuyos tres ángulos interiores son agudos (menos de 90°)

Triangulo obtusángulo Triángulo que tiene uno de sus ángulos interiores obtuso (mayor de 90°); en tanto los restantes dos son agudos (menor de 90°).

En la siguiente aplicación, mueve los puntos azules en cada triángulo y construye:

3 triángulos equiláteros
3 triángulos isósceles
3 triángulos escalenos
3 triángulos rectángulos
3 triángulos acutangulos
3 triángulos obtusangulos

Created with GeoGebra

Teorema La suma de los ángulos interiores de un triángulo valen dos ángulos rectos.

En la siguiente aplicación:

Activa "Medir Angulos" y mueve los puntos A, B y C.... ¿ Qué sucede?
Activa "Realizar la suma de las medidas de los Angulos internos" y mueve los puntos A, B y C....

Oscar Mauricio Mora Arroyo, Created with GeoGebra

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

Perímetro de un triángulo

El perímetro del triángulo es igual a la suma de las longitudes de sus lados, es decir:

P=AB+BC+ CA
donde AB, BC y CA representan la longitud de los lados AB, BC y CA, respectivamente.

Área de un triángulo

El área de un triángulo se define como la mitad del producto de la longitud de la base por la longitud de la altura, es decir:

$A = \frac{1}{2}$ (BC $\times$ DA)
donde BC y DA representan la longitud de la base BC y la longitud de la altura DA, respectivamente.

Ejemplos

1. Considere los siguientes triángulos para determinar el perímetro y área de cada uno de ellos:

Primer triángulo: sus lados miden 4, 4.5 y 6, respectivamente y su altura mide 3.
Perímetro:

P = 4 + 6 + 4.5 = 14.5

unidades
Area:

A = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6

unidades cuadradas
Segundo triángulo: sus lados miden 8, 9 y 6, respectivamente y su altura mide 7
Perímetro:

P = 8 + 9 + 6 = 23

unidades
Area:

A = \frac{1}{2} \times 7 \times 6 = 21

unidades cuadradas

2. Si el área de un triángulo es 12 cm $^{2}$ y su altura es 4 cm, determine la base del triángulo.

Como el área de un triángulo es

A = \frac{1}{2} b h,

sustituyendo A por 12 y h por 4, se obtiene:

12 = \frac{1}{2} b (4) \Rightarrow b = \frac{2 \times 12}{4} = 6

3. Si el perímetro de un triángulo rectángulo isósceles es 22 y la longitud de su hipotenusa es 10, halle el área del triángulo rectángulo.

Como el triángulo rectángulo es isósceles, los catetos tienen la misma longitud. Sea a la longitud del cateto y b la longitud de la hipotenusa se tiene que el perímetro es:

$P = a + a + b = 2 a + 10 = 22 \Rightarrow a = 6$

y el área del triángulo rectángulo es:

$A = \frac{1}{2} 6 \times 6 = 18$

4. ¿Puede ser equilátero un triángulo rectángulo?

No, los catetos no pueden ser iguales, pero la hipotenusa siempre es mayor que cualquier cateto, de otra forma no se podría formar un triángulo rectángulo.

Práctica:

Cuadriláteros

Los cuadriláteros son polígonos de 4 lados y se clasifican de acuerdo al paralelismo de sus lados opuestos. Si los lados opuestos son paralelos se llaman paralelogramos, ver la siguiente figura:

Cuando solo hay paralelismo en un par lados opuestos, se le llama trapecio. Si no existe paralelismo, se le llama trapezoide, ver la siguiente figura:

En la siguiente aplicación se muestran cada uno de los tipos de cuadriláteros, selecionando solo uno a la vez al lado derecho. Puedes mover en cada figura los puntos de las esquinas y así observar las propiedades de cada uno de ellos.

Winston Arias Vargas, Creado con GeoGebra

Rectángulos

El rectángulo tiene los cuatro ángulos rectos y los lados consecutivos desiguales.

El perímetro del rectángulo es la suma de sus cuatro lados, o equivalentemente, dos veces el largo más dos veces el ancho, es decir:

Perímetro = Lado1+Lado2+Lado3+lado4 $= 2 (l) + 2 (h) = 2 (l + h)$

El área del rectángulo es el producto de su largo por su ancho, es decir:

$Area = (Largo) (Ancho) = l \times h$

En la siguiente aplicación mueve los deslizadores para hallar el área de un rectangulo.
¿ Como encontrarías el perímetro ?

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Manuel Sada Allo (Abril 2005), Created with GeoGebra

Cuadrados

El cuadrado tiene los cuatro ángulos rectos y los lados iguales.

El perímetro del cuadrado es la suma de sus cuatro lados, o equivalentemente, cuatro veces la longitud de un lado, es decir:

Perímetro = Lado1+Lado2+Lado3+lado4=4(Lado1)

El área del cuadrado es el cuadrado de la longitud de uno de sus lados, es decir:

$A r e a = {(L a d o 1)}^{2}$

En la siguiente aplicación mueve los deslizadores para hallar el área de un cuadrado.
¿ Como encontrarías el perímetro ?

Manuel Sada Allo (Abril 2005), Created with GeoGebra

Paralelogramos

En la siguiente aplicación:

Mueva el punto F describir lo que cambia y lo que no cambia en el paralelogramo.
Mueva el deslizador Hint y observa lo que sucede.
¿ Qué conjeturas se puede hacer acerca de la fórmula para el área de un paralelogramo? (pista: utilice los controles deslizantes para ayudarse)
Prueba de la conjetura de la anterior pregunta con 5 diferentes combinaciones de bases y de alturas, anotar los resultados.

Edward M. Knote, Created with GeoGebra GeoGebra

El paralelogramo es el cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos dos a dos. El paralelogramo tiene altura que es el segmento perpendicular a ambos lados opuestos y paralelos.

El perímetro del paralelogramo es la suma de las longitudes de sus cuatro lados, o equivalentemente, dos veces un lado paralelo más dos veces el otro lado paralelo, es decir:

$P e r i m e t r o = 2 a + 2 b = 2 (a + b)$

El área del paralelogramo es el producto de su base por la altura correspondiente a dicha base, es decir:

$A r e a = b h$

Trapecios

En la siguiente aplicación se puede ajustar la altura del trapecio y sus proporciones moviendo los puntos azules libres. Desliza el punto verde, observa lo que ocurre y razona.

Josep Pons Jansana, 19 de noviembre de 2010, Creat amb GeoGebra

El trapecio es el cuadriláero que tiene solamente un par de lados paralelos, que se llaman bases. El paralelogramo tiene altura que es el segmento perpendicular a ambos lados opuestos y paralelos.

El perímetro del trapecio es la suma de sus cuatro lados, o equivalentemente, dos veces su base más la suma de los lados no paralelos, es decir:

Perímetro $= \overline{D A} + \overline{C B} + \overline{C D} + \overline{B A}$

El área del trapecio es el promedio de sus bases por la altura, es decir:

$A r e a = \frac{1}{2} (p r o m e d i o b a s e s) (a l t u r a)$

Ejemplos

1. Halle los valores de x e y para que el cuadrilátero que se muestre sea un paralelogramo y luego determine su perímetro.

Para que sea un paralelogramo los lados paralelos deben ser de la misma longitud, por lo tanto se debe cumplir:

\begin{matrix} y = y^{2} & y = 1 \\ \Rightarrow \\ 6 x = 4 x + 8 & x = 4 \end{matrix}

y el perímetro es

P = 1 + 1 + 24 + 24 = 50

2. Dado el siguiente rectángulo, si el perímetro es 58, determine el valor de x y luego su área.

La suma de las longitudes de los lados es igual a 58, resolviendo la ecuación:

6 x + 2 x + 5 + 3 x + 9 + 6 x - 7 = 58

, la solución es:

x = 3

y los lados tienen longitud: 18, 11, 18 y 11, respectivamente y el área es:

A = 18 \times 11 = 198

Práctica:

Resumen

Ahora que has terminado esta lección debes ser capaz de:

Interpretar, representar o crear figuras geométricas planas.
Dibujar figuras geométricas dada una descripción matemática.
Calcular perímetros y áreas de las figuras planas: triángulos, cuadrilateros, círculos.

File applications developed with GeoGebra