Trigonometría de Triángulos Rectángulos

Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

  • Explicar la relación entre los lados de un triángulo rectángulo y las funciones trigonométricas.
  • Resolver triángulos rectángulos.

Introducción

En la lección de Circulo Unitario, definimos las funciones trigonométricas fundamentales seno y coseno. Para definirlas hicimos uso de la localización de un punto en el círculo para un determinado ángulo, como se muestra en la gráfica:

Notemos que en el triángulo rectángulo de la figura, las dimensiones de los catetos corresponden al sen(α) y cos(α), así:

 
Ahora, considera un triángulo semejante, con el mismo ángulo α, pero con la hipotenusa igual a 2. Por semejanza de triángulos, estas serían sus dimensiones:
Ahora, considera un triángulo semejante, con el mismo ángulo α, pero con la hipotenusa igual a h. Por semejanza de triángulos, estas serían sus dimensiones:

Vemos que existe una relación entre las dimensiones de los lados del triángulo y las funciones seno y coseno de los ángulos agudos del triángulo. En esta lección estudiaremos cómo se relacionan las funciones trigonométricas con los lados de un triángulo rectángulo.

Para practicar ejercicios sobre triángulos rectángulos haz click en el siguiente botón

Propiedades

 

Dado un triángulo rectángulo:

Vimos en la introducción que:

Combinado las dos gráficas de la izquierda, obtenemos las siguientes propiedades:

Seno

h sen α = lado opuesto sen α = lado opuesto h

 

Coseno

h cos α = lado adyacente cos α = lado adyacente h

Usando las ecuaciones obtenidas arriba para las funciones seno y coseno, podemos obtener una propiedad para la función tangente, como vemos al lado derecho:

 

 

 

 

Multiplicando el numerador y denominador por h:

 

Realizando las operaciones y simplificando, obtenemos:

Tangente

tan α = sen(α) cos(α) tan α = lado opuesto h lado adyacente h tan α = lado opuesto h lado adyacente h × h h tan α = lado opuesto lado adyacente

Problema de Aplicación


El siguiente Applet podás observar la altura que alcanza un cohete según el ángulo de elevación de con el que lo mira un observador que se encuentra a 3 km de distancia de la plataforma de despegue. Eleva el cohete y observa lo que ocurre.

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Problemas

1. Encontrar el valor de a y b en el triángulo de la figura

Hallando el valor de a:

Sabemos que: cos 30° = lado adyacente hipotenusa 3 2 = a 12 a = 12 2 3 a = 6 3

Hallando el valor de b:

Sabemos que: sen 30° = lado opuesto hipotenusa 1 2 = b 12 b = 12 2 b = 6

2. Encontrar el valor de a y b en el triángulo de la figura:

Hallando el valor de a:

Sabemos que: cos 60° = lado adyacente hipotenusa 1 2 = 30 a a = 2 1 30 a = 60

Hallando el valor de b:

Como ya conocemos a, podemos encontrar el valor de b usando el teorema de Pitágoras:

b 2 = a 2 - 30 2 b 2 = 60 2 - 30 2 b 2 = 3600 - 900 b 2 = 2700 b ≈ 51.96

 

3. Encontrar el valor de a y b en el triángulo de la figura:

Hallando el valor de a:

Sabemos que: sin 45° = lado opuesto hipotenusa 22 = 20 a a = 2 2 20 a = 2 2 2 2 20 a = 20 2

Hallando el valor de b:

Como ya conocemos a, podemos encontrar el valor de b usando el teorema de Pitágoras:

b 2 = a 2 - 20 2 b 2 = 202 2 - 20 2 b 2 = 400 2 - 400 b 2 = 400 b = 20

4. Encontrar el valor de a en el triángulo de la figura:

Hallando el valor de a:

Usando la calculadora obtendremos que tan(50°) ≈ 1.19

Sabemos que: tan 50° = lado opuesto lado adyacente 1.19 ≈ a 20 a ≈ 1.19 20 a ≈ 23.8

Para practicar ejercicios sobre funciones trinométricas y triángulos rectángulos haz click en el siguiente botón

Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

  • Explicar la relación entre los lados de un triángulo rectángulo y las funciones trigonométricas.
  • Resolver triángulos rectángulos.