Transformación de Funciones Trigonométricas

Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

Hacer transformaciones fundamentales con funciones Trigonométricas.
Reconocer funciones Trigonométricas transformadas.
Resolver problemas de aplicación con funciones Trigonométricas transformadas.

En la lección de Cambio de Periodo de Funciones Trigonométricas, explicamos que para modelar situaciones de la vida real, a menudo es necesario cambiar el periodo de la función. Además del periodo, en ocaciones es neceario realizar otras transformaciones a la función. Por ejemplo, para modelar, las mareas, usamos una gráfica como esta:

En los modelos reales, la altura de la marea típicamente no va de -1 pie a 1 pie. En ocaciones, puede ser necesario, modelar, por ejemplo, la altura de la marea de -2 pies a 2 pies:

Más aún, el nivel mínimo puede ser por ejemplo -1 pie y el máximo 3 pies. Es decir, sería neceario trasladar la gráfica verticalmente:

Por otro lado, es posible que el nivel máximo sea alcanzado a otra hora del día, por ejemplo a las 12. Es decir, sería neceario trasladar la gráfica horizontalmente:

Podemos notar que es necesario aplicar las transformaciones que aprendimos en la lección de Transformación de Funciones, para que nuestro modelo sea más exacto. En esta lección exploraremos el efecto de las transformaciones a las funciones trigonométricas.

Amplitud

La amplitud de las funciones seno y coseno, representa la mitad de la distancia entre los valores máximo y mínimo de la función.

La definición anterior implica que:

La amplitud de la función sen(x) es 1

La amplitud de la función cos(x) es 1

Cambio de Amplitud

2 sen (x)

Amplitud = 2

x	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	π	$\frac{7 π}{6}$	$\frac{5 π}{4}$	$\frac{4 π}{3}$	$\frac{3 π}{2}$	$\frac{5 π}{3}$	$\frac{7 π}{4}$	$\frac{11 π}{6}$	2π
sen(x)	0.5	0.71	0.87	1	0.87	0.71	0.5	0	-0.5	-0.71	-0.87	-1	-0.87	-0.71	-0.5	0
2sen(x)	1	1.42	1.74	2	1.74	1.42	1	0	-1	-1.42	-1.74	-2	-1.74	-1.42	-1	0

sin2x

\frac{1}{2} sen (x)

Amplitud = ½

x	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	π	$\frac{7 π}{6}$	$\frac{5 π}{4}$	$\frac{4 π}{3}$	$\frac{3 π}{2}$	$\frac{5 π}{3}$	$\frac{7 π}{4}$	$\frac{11 π}{6}$	2π
sen(x)	0.5	0.71	0.87	1	0.87	0.71	0.5	0	-0.5	-0.71	-0.87	-1	-0.87	-0.71	-0.5	0
½sen(x)	0.25	0.355	0.435	0.5	0.435	0.355	0.25	0	-0.25	-0.355	-0.435	-0.5	-0.435	-0.355	-0.25	0

Ex1 Graf 1

3 \cos (x)

Amplitud = 3

x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	π	$\frac{7 π}{6}$	$\frac{5 π}{4}$	$\frac{4 π}{3}$	$\frac{3 π}{2}$	$\frac{5 π}{3}$	$\frac{7 π}{4}$	$\frac{11 π}{6}$	2π
cos(x)	1	0.87	0.71	0.5	0	-0.5	-0.71	-0.87	-1	-0.87	-0.71	-0.5	0	0.5	0.71	0.87	1
3cos(x)	3	2.61	2.13	1.5	0	-1.5	-2.13	-2.61	-3	-2.61	-2.13	-1.5	0	1.5	2.13	2.61	3

Ex1 Graf 1

\frac{1}{4} \cos (x)

Amplitud = ¼

x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	π	$\frac{7 π}{6}$	$\frac{5 π}{4}$	$\frac{4 π}{3}$	$\frac{3 π}{2}$	$\frac{5 π}{3}$	$\frac{7 π}{4}$	$\frac{11 π}{6}$	2π
cos(x)	1	0.87	0.71	0.5	0	-0.5	-0.71	-0.87	-1	-0.87	-0.71	-0.5	0	0.5	0.71	0.87	1
¼cos(x)	0.25	0.2175	0.1775	0.125	0	-0.125	-0.1775	-0.2175	-0.25	-0.2175	-0.1775	-0.125	0	0.125	0.1775	0.2175	0.25

Ex1 Graf 1


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La amplitud de f(x)=a sen(x) y g(x)=a cos(x) representa la mitad de la distancia entre los valores máximo y mínimo de la función, es decir:

Amplitud = |a|

Para practicar ejercicios sobre la amplitud de funciones trinométricas haz click en el siguiente botón

Otras Transformaciones

Ejemplo 1:

Graficar la función $\frac{1}{2} sen (x - \frac{π}{4}) - 1$

Solución:

-->

$sen (x) \Rightarrow \frac{1}{2} sen (x)$	Gráfica de $f (x) = sen (x)$	Cambiamos la amplitud a ½
$\frac{1}{2} sen (x) \Rightarrow \frac{1}{2} sen (x - \frac{π}{4})$	Gráfica de $\frac{1}{2} sen (x)$	Restamos ^π/₄ a la entrada y obtenemos $\frac{1}{2} sen (x - \frac{π}{4})$
$\frac{1}{2} sen (x - \frac{π}{4}) \Rightarrow \frac{1}{2} sen (x - \frac{π}{4}) - 1$	Gráfica de $\frac{1}{2} sen (x - \frac{π}{4})$	Sumando 1 a la salida, tenemos $f (x) = \frac{1}{2} sen (x - \frac{π}{4}) - 1$
$f (x) = \frac{1}{2} sen (x - \frac{π}{4}) - 1$	Gráfica de $f (x) = \frac{1}{2} sen (x - \frac{π}{4}) - 1$
$\cos (x) \Rightarrow \cos (\frac{x}{2})$	Gráfica de $f (x) = \cos (x)$	Cambio de periodo
$\cos (\frac{x}{2}) \Rightarrow 2 \cos (\frac{x}{2})$	Gráfica de $\frac{1}{2} sen (x)$	Cambio de amplitud a 2
$2 \cos (\frac{x}{2}) \Rightarrow 2 \cos (\frac{x}{2}) + 1$	Gráfica de $2 \cos (\frac{x}{2})$	Sumando 1 a la salida, tenemos $f (x) = 2 \cos (\frac{x}{2}) + 1$
$f (x) = 2 \cos (\frac{x}{2}) + 1$	Gráfica de $f (x) = 2 \cos (\frac{x}{2}) + 1$
$\cos (x) \Rightarrow \cos (4 x)$	Gráfica de $f (x) = \cos (x)$	Cambio de periodo
$\cos (4 x) \Rightarrow 2 \cos (4 x)$	Gráfica de $f (x) = \cos (4 x)$	Cambiamos la amplitud a 2
$2 \cos (4 x) \Rightarrow 2 \cos (4 x - \frac{π}{2})$	Gráfica de $2 \cos (4 x)$	Restamos ^π/₂ a la entrada y obtenemos $2 \cos (4 x - \frac{π}{2})$
$2 \cos (4 x - \frac{π}{2}) \Rightarrow 2 \cos (4 x - \frac{π}{2}) - 3$	Gráfica de $2 \cos (4 x - \frac{π}{2})$	Restando 3 a la salida, tenemos $f (x) = 2 \cos (4 x - \frac{π}{2}) - 3$
$f (x) = 2 \cos (4 x - \frac{π}{2}) - 3$	Gráfica de $2 \cos (4 x - \frac{π}{2}) - 3$


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Ejemplo 2:

Graficar la función $2 \cos (\frac{x}{2}) + 1$

Solución:


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Ejemplo 3:

Graficar la función $f (x) = - 3 + \frac{1}{2} \cos (x - \frac{π}{2})$

Graficar 4 + 2cos(x+pi/4)

Solución:


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Con la siguiente aplicación observa el comportamiento de la gráfica de las funciones seno y coseno, según las diferentes transformaciones. Elige una función y luego desplaza los deslizadores, podrás comparar la gráfica de la función transformada con la de la función original.

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Para practicar ejercicios sobre transformaciones de funciones trinométricas haz click en el siguiente botón

Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

Hacer transformaciones fundamentales con funciones Trigonométricas.
Reconocer funciones Trigonométricas transformadas.
Resolver problemas de aplicación con funciones Trigonométricas transformadas.

Transformación de Funciones Trigonométricas

Objetivos

Introducción

Amplitud

Cambio de Amplitud

Otras Transformaciones

Resumen