Lo que intentaremos realizar en esta sección, es lograr representar por medio de tablas, gráficas y fórmulas algunas funciones asociadas con situaciones de la vida cotidiana. Por ejemplo, representemos por medio de una tabla la siguiente situación.
Situación 1
El clima en Chicago es muy variado. El dia de hoy se estima que la temperatura en Chicago es de -5 °C (Hora 2:00 pm) y que seguira disminuyendo -3 °C cada hora, quedando luego constante a una temperatura de -20 °C.
La siguiente tabla representa la situación anterior:
: hora
:
temperatura
°C
2
-5
3
-8
4
-11
5
-14
6
-17
7
-20
8
-20
9
-20
Ventajas: Muy fácil de crear con los datos disponibles y muy sencillo de usar.
Desventajas: Muchos datos no están disponibles, por ejemplo en la tabla anterior no es posible obtener
la información del clima antes de las 2:00pm.
Situación 2
Se desea saber cómo ha ido variando la tasa de empleo en los últimos años.
La gráfica de abajo muestra la tasa de empleo en Estados Unidos desde 1950 hasta hoy.
Ventajas: Las gráficas son una buena forma de ver en conjunto el comportamiento de la función, por ejemplo resaltar los valores máximos, mínimos
y en qué parte comienza una variación importante de la función.
Desventajas: Falta de precisión, a veces no es fácil determinar el valor exacto en un punto dado de la gráfica
Situación 3
Una persona gana $10 la hora. Desea saber cuánto será su salario después de x horas trabajadas.
Como gana $10 la hora, por x horas trabajadas ganará 10×x dolares.
En este caso nos interesa poder usar cualquier entrada y que la salida sea precisa, así que usamos una fórmula.
Ventajas: Determina con precisión el valor de salida para cualquier entrada.
Desventajas: En ocaciones es mas difícil usar y visualizar.
Dada la siguiente función representada en forma gráfica:
Identificar algunos puntos que pertenecen a la gráfica.
Representar las coordenadas en x y las coordenadas en y de los puntos
identificados en el paso anterior como entrada y salida respectivamente de una máquina que represente esta función.
Escribir en una tabla los valores de las entradas en una fila y las correspondientes salidas en otra fila.
1. Identificar algunos puntos que pertenecen a la gráfica
Vamos a escribir los puntos marcados en color rojo que son parte de la gráfica de esta función en forma de pares ordenados.
Así tenemos, por ejemplo, que al valor x=-2, le corresponde el punto y=4. Es decir este punto es (-2,4)
Continuando de esta forma obtenemos las coordenadas de todos los puntos marcados en rojo:
(-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1) y (2,4)
2. Representar las coordenadas en x y las coordenadas en y de los puntos
identificados en el paso anterior como entrada y salida respectivamente de una máquina que represente esta función.
La máquina f, representa nuestra función. Para cada coordenada x, la máquina f da como valor de salida la coordenada y.
3. Escribir en una tabla los valores de las entradas en una fila y las correspondientes salidas en otra fila. Esta será la representación en forma de tabla de la
función.
x
-2
-1
0
1
2
f(x)
4
1
0
1
4
Ejemplo 2
Supongamos que tenemos la siguiente función
, podemos pasar esta fórmula a una representación de tabla de la siguiente manera.
x
-2
-1
0
1
2
Es decir nuestra tabla quedaría finalmente de la siguiente forma:
x
-2
-1
0
1
2
f(x)
8
1
0
1
8
Ejemplo 3
Para el ejemplo anterior, podríamos crear una tabla más extensa utilizando más valores de x. De esta forma
al momento de pasar la tabla a una representación gráfica, se vea una línea bastante suave, como se muestra a continuación:
Recordemos que una función asocia a cada entrada una única salida. Gráficamente significa que a cada punto en
el eje x, le corresponde un único punto en el eje y. Esta idea se resume en el criterio de la recta vertical.
Criterio de la Recta Vertical
Una curva en el plano cartesiano define una función si cualquier recta vertical que sea trazada sobre la gráfica de la misma interseca la curva en
a lo sumo un punto.
Ejemplos:
No es función
Si es función
Si m es una máquina que representa la relación entre x y y, la salida para el punto x = 1 es:
Como m tiene dos salidas diferentes para el punto 1, entonces m no representa una función.
Si f es una máquina que representa la relación entre x y y, tenemos por ejemplo:
Vemos que a cualquier punto x le corresponde un único punto en y. Por lo tanto esta gráfica si representa una función.
Una forma de verificar si una gráfica es o no una función, es pasando imaginariamente una recta vertical por la gráfica. Si esta recta pasa por dos o más puntos en algún lugar de la gráfica entonces no es una función.
Identificar Funciones Representadas con Tablas
Como en una función se asocia una única salida por cada valor de entrada, en la tabla, el valor de entrada debe aparecer sólo una vez.
el eje x, le corresponde un único punto en el eje y.
No es función
Si es función
x
1
2
2
4
5
6
7
R(x)
7
6
5
4
3
2
1
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
7
6
6
8
-4
2
1
Si m es una máquina que representa la relación entre x y y, la salida para el punto x = 2 es:
Como m tiene dos salidas diferentes para el punto 1, entonces m no representa una función.
Si f es una máquina que representa la relación entre x y y, tenemos por ejemplo:
Vemos que a cualquier punto x le corresponde un único punto en y. Por lo tanto esta tabla si representa una función.
Identificar Funciones Representadas con Fórmulas
No es función
Si es función
Considera la relación representada por la siguiente máquina:
Considera la relación representada por la siguiente máquina:
La gráfica de los puntos (x,y) que satisfacen la ecuación es:
La salida para el punto x = 0 es:
Como m tiene dos salidas diferentes para el punto 1, entonces m no representa una función.
La gráfica de los puntos (x,y) que satisfacen la ecuación es:
Tenemos por ejemplo:
Vemos que a cualquier punto x le corresponde un único punto en y. Por lo tanto esta fórmula si representa una función.
