Graficar Funciones Racionales

Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

Comprender el comportamiento de la gráfica de funciones racionales cerca de las raíces.
Comprender el comportamiento de la gráfica de funciones racionales cerca de las asíntotas.
Explicar el comportamiento a largo plazo de las funciones racionales.
Graficar una función racional.

Comportamiento de la gráfica de una función racional cerca de las raíces.

En la lección de funciones racionales y sus raíces vimos que la raíz de una función racional $f (x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ es el valor donde el numerador, P(x)=0.

Tal como sucede en el caso de las funciones polinomiales, el comportamiento de la gráfica de una función racional cerca de una raíz está condicionado por la multiplicidad de dicha raíz.

Si una función racional tiene una raíz r de multiplicidad k, entonces:

La gráfica de la función cruza el eje x si k es impar.

La gráfica de la función toca el eje x pero no lo cruza, si k es par.

Ejemplo:

Las raíces de la función racional $f (x) = \frac{{(x + 6)}^{3} {(x + 2)}^{4} {(x - 4)}^{2}}{(x + 1)}$ son:

x=-6 (multiplicidad 3), x=-2 (multiplicidad 4) y x=4 (multiplicidad 2).

La gráfica de esta función es la siguiente:

x al cuadrado

Comportamiento de la gráfica de una función racional cerca de las asíntotas

En la lección Funciones Racionales y sus Raíces hicimos una introducción al concepto de asíntotas. Vamos a revisar gráficamente estos ejemplos:

Ejemplo 1:

Considera la función $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ .

Vimos que la asíntota corresponde a las raíz del denominador y es la recta:

$\begin{matrix} (x - 1) = 0 \\ x = 1 \end{matrix}$

La tabla que obtuvimos variando los valores de x acercándonos a la recta por la izquierda y por la derecha es la siguiente:

x	0.9	0.99	0.999	1.001	1.01	1.1
f(x)	-10	-100	-1000	1000	100	10

Ambas figuras abajo corresponden a la función $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ , en la primera vemos la gráfica con valores de x hasta 4, en la segunda vemos cómo la gráfica se acerca a la asíntota para valores de x más grandes.

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Cuando x se acerca a una asíntota x=a, la grafica de f se ve como la asintota.

Ejemplo2:

Considera la función $f (x) = \frac{1}{(x - 1) (x - 2)}$ .

Vimos que las asíntotas corresponden a las raíces del denominador y son:

$\begin{matrix} () \end{matrix}$

$\begin{matrix} (x - 1) = 0 \\ x = 1 \end{matrix}$

$\begin{matrix} (x - 2) = 0 \\ x = 2 \end{matrix}$

Veamos cómo se comporta la función para valores de x cerca de la raíz del denominador x=1.

x	0.9	0.99	0.999	1.001	1.01	1.1
f(x)	9.090	99.010	999.001	-1001.001	-101.010	-11.111

Vemos que cuando x se acerca a 1 por la izquierda el valor de la función crece rápidamente. Cuando x se acerca a 1 por la derecha, el valor de la función decrece rápidamente

Veamos cómo se comporta la función para valores de x cerca de la raíz del denominador x=2.

x	1.9	1.99	1.999	2.001	2.01	2.1
f(x)	-11.111	-101.010	-1001.001	999.001	99.010	9.091

Vemos que cuando x se acerca a 2 por la izquierda el valor de la función decrece rápidamente. Cuando x se acerca a 2 por la derecha, el valor de la función crece rápidamente

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Comportamiento a largo plazo de una función racional

En la lección Graficar y Funciones Polinómicas vimos que cuando x se hace muy grande, el término principal domina a un polinomio. En una función racional $f (x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ , cuando x se hace muy grande, el término principal de P(x) domina el numerador y término principal de Q(x) domina el denominador.

Ejemplo 1:

La función racional $f (x) = \frac{2 x^{2} + 3 x + 3}{x^{2} + 5 x + 1}$ se ve como $g (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2}} = 2$

En la figura puedes ver cómo la gráfica de la función racional se acerca a la recta y=2 cuando x se hace muy grande o muy pequeño:

test 2

Ejemplo 2:

La función racional $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x - 1}$ se ve como $g (x) = \frac{x^{2}}{x} = x$

En la figura puedes ver cómo la gráfica de la función racional se acerca a la recta y=x cuando x se hace muy grande o muy pequeño:

test 2

Gráfica de funciones racionales

Para graficar las funciones racionales seguiremos los siguientes pasos:

Graficar las raíces reales y el intercepto.
Graficar las asíntotas verticales.
Determinar el cambio de signos de la función.
Graficar la función pasando por las raíces e interceptos. La gráfica debe ser consistente con el comportamiento cerca de las raíces y asíntotas y con el comportamiento a largo plazo.

Ejemplo 1:

Graficar la función $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

Solución:

Paso 1: Graficar raíces reales. Factorizar si es necesario.

Recordemos que las raíces de la función racional son las raíces del numerador.

La raíz del numerador (x + 1) es:

$\begin{matrix} (x + 1) = 0 \\ x = - 1 \end{matrix}$

La raíz de $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ es x=-1

El intercepto con el eje y es $f (0) = \frac{0 + 1}{0 - 1} = - 1$ .

Paso 2: Graficar las asíntotas verticales..

Las asíntotas verticales son las raíces del denominador.

La raíz del denominador (x - 1) es:

$\begin{matrix} (x - 1) = 0 \\ x = 1 \end{matrix}$

La asíntota vertical de $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ es la recta x=1. En la gráfica se muestra en color azul.

Paso 3: Determinar el cambio de signos de la función.

Las raíces y las asíntotas definen los siguientes intervalos donde el signo de la función puede cambiar:

test 1

Intervalo	Punto de Prueba	Función evaluada en el punto de prueba	Signo del Intervalo
$(- \infty, - 1)$	x = -2	$f (- 2) = \frac{(- 2) + 1}{(- 2) - 1} = \frac{1}{3}$	$+$
$(- 1, 1)$	x = -0.5	$f (0) = \frac{(0) + 1}{(0) - 1} = - 1$	$-$
$(1, \infty)$	x = 2	$f (2) = \frac{(2) + 1}{(2) - 1} = 3$	$+$

test 2

Paso 4: Graficar la función pasando por las raíces e interceptos. La gráfica debe ser consistente con el comportamiento cerca de las raíces y asíntotas y con el comportamiento a largo plazo.

Comportamiento a largo plazo.

El comportamiento a largo plazo de $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ será igual al de la función $g (x) = \frac{x}{x} = 1$ . Es una recta horizontal como se muestra en color rojo en la gráfica.

Ejemplo 2:

Graficar la función $f (x) = \frac{x^{3} + 5 x^{2} + 4 x}{x^{2} + x - 2}$

Solución:

Paso 1: Graficar raíces reales. Factorizar si es necesario.

Factorizando el numerador en la expresión obtenemos:

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x + 4)}{x^{2} + x - 2}$

Como el denominador no puede ser igual a cero. La función puede ser cero si alguno de los factores del numerador es cero:

$x = 0$

$\begin{matrix} (x + 1) = 0 \\ x = - 1 \end{matrix}$

$\begin{matrix} (x + 4) = 0 \\ x = - 4 \end{matrix}$

Las raíces de la función $f (x) = \frac{x^{3} + 5 x^{2} + 4 x}{x^{2} + x - 2}$ son x=0, x=-1 y x=-4

El intercepto con el eje y es $f (0) = 0$ .

Paso 2: Graficar las asíntotas verticales..

Factorizando el denominador en la expresión obtenemos:

$f (x) = \frac{x^{3} + 5 x^{2} + 4 x}{(x - 1) (x + 2)}$

Las raíces del denominador son:

$\begin{matrix} (x - 1) = 0 \\ x = 1 \end{matrix}$

$\begin{matrix} (x + 2) = 0 \\ x = - 2 \end{matrix}$

Las asíntotas verticales de la función $f (x) = \frac{x^{3} + 5 x^{2} + 4 x}{x^{2} + x - 2}$ son las rectas x=1 y x=-2 En la gráfica se muestran en color azul.

Paso 3: Determinar el cambio de signos de la función.

Las raíces y las asíntotas definen los siguientes intervalos donde el signo de la función puede cambiar:

test 1

Intervalo	Punto de Prueba	Función evaluada en el punto de prueba	Signo del Intervalo
$(- \infty, - 4)$	x = -5	$f ((- 5)) = \frac{{(- 5)}^{3} + 5 {(- 5)}^{2} + 4 (- 5)}{{(- 5)}^{2} + (- 5) - 2} = - \frac{10}{9}$	$-$
$(- 4, - 2)$	x = -3	$f ((- 3)) = \frac{{(- 3)}^{3} + 5 {(- 3)}^{2} + 4 (- 3)}{{(- 3)}^{2} + (- 3) - 2} = \frac{3}{2}$	$+$
$(- 2, - 1)$	x = -1.5	$f ((- 1.5)) = \frac{{(- 1.5)}^{3} + 5 {(- 1.5)}^{2} + 4 (- 1.5)}{{(- 1.5)}^{2} + (- 1.5) - 2} = - \frac{3}{2}$	$-$
$(- 1, 0)$	x = -0.5	$f ((- 0.5)) = \frac{{(- 0.5)}^{3} + 5 {(- 0.5)}^{2} + 4 (- 0.5)}{{(- 0.5)}^{2} + (- 0.5) - 2} = 0.39$	$+$
$(0, 1)$	x = 0.5	$f ((0.5)) = \frac{{(0.5)}^{3} + 5 {(0.5)}^{2} + 4 (0.5)}{{(0.5)}^{2} + (0.5) - 2} = - 2.7$	$-$
$(1, \infty)$	x = 2	$f ((2)) = \frac{{(2)}^{3} + 5 {(2)}^{2} + 4 (2)}{{(2)}^{2} + (2) - 2} = 9$	$+$

test 1

Comportamiento a largo plazo.

El comportamiento a largo plazo de $f (x) = \frac{x^{3} + 5 x^{2} + 4 x}{x^{2} + x - 2}$ será igual al de la función $g (x) = \frac{x^{3}}{x^{2}} = x$ Esta función se muestra en color rojo en la gráfica.

Observa y Aprende:

Presiona el botón y abre un applet con el cual podrás ver y estudiar ejemplos del comportamiento de las función racional en sus asintotas horizontales.

Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

Comprender el comportamiento de la gráfica de funciones racionales cerca de las raíces.
Comprender el comportamiento de la gráfica de funciones racionales cerca de las asíntotas.
Explicar el comportamiento a largo plazo de las funciones racionales.
Graficar una función racional.