Propiedades de funciones

Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz, utilizando la gráfica o la fórmula asociada a una función, de:

• Determinar si la gráfica de una función es simétrica respecto a

  (i) eje y

  (ii) a la recta y=x.

• Determinar si es par o impar.
• Determinar dónde es creciente o decreciente.

Introducción

En esta lección analizaremos las propiedades de funciónes desde el punto de vista algebraico y gráfico. Reconocer las propiedades de una función nos ayuda a visualizar relaciones entre variables en la vida real.

Simetría de Puntos en el Plano

Vamos a analizar la simetría de puntos en el plano utilizando la siguiente aplicación. En ella se encuentran trazados los planos coordenados y la recta y=x en azul.

Tenemos dos puntos C y C', que podemos cambiar de posición y que siempre son simétricos respecto a la recta en color rojo, la cual también puede ser desplazada utilizando el punto de la recta en rojo.

En la aplicación anterior, realiza los siguientes pasos:

1. Desplaza la recta trazada en color rojo hasta hacerla coincidir con el eje y. Desplaza el punto C hasta la posición (7,3). ¿ En qué posición está el punto C'? ¿Cómo cambia C' cuando movemos el punto C a una posición diferente? Qué relación observas entre las coordenadas de estos puntos?
2. Haz coincidir la recta trazada en color rojo con el eje x. ¿En qué posición está el punto C'? ¿Cómo cambia C' cuando movemos el punto C a una posición diferente? ¿Qué relación observas entre las coordenadas de estos puntos?
3. Haz coincidir la recta trazada en color rojo la recta y=x. ¿En qué posición está el punto C'? ¿Cómo cambia C' cuando movemos el punto C a una posición diferente? ¿Qué relación observas entre las coordenadas de estos puntos?

Practica más con esta aplicación, acerca de reflexiones con respecto a los ejes y la recta x=y.

1. Mueve el punto M a (1,2)
2. Usa el mouse para mover el punto V para que sea el punto M reflejado sobre el eje de y.
3. Usa el mouse para mover el punto H para que sea el punto M reflejado sobre el eje de x.
4. Usa el mouse para mover el punto D para que sea el punto M reflejado sobre la línea y = x.
5. Mueve el punto M al punto (1,-3)
6. Repite los pasos 2 hasta 4 con el nuevo valor de M
7. Si M está en el punto (a,b), ¿cuáles serian las localizaciones con reflexiones sobre el eje de x, el eje de y y la línea y = x.

funciónes simétricas respecto al eje y

Ya hemos visto que los puntos (a,b) y (-a,b) son simétricos respeto al eje de y. Se dice que una función o gráfica es simétrica respeto al eje de y si (a,b) está en la gráfica implica que (-a, b) también está en la gráfica.

Podemos ver en la primera gráfica que :

• (-2,4) y (2,4) están en la gráfica
• (-1,1) y (1,1) están en la gráfica
• (-0.25,0.5) y (0.25, 0.5) están en la gráfica

En términos de máquinas, si una función es simétrica con respeto al eje de y, sabemos que

Es decir que al entrar a y -a en la función, las salidas son iguales en ambos casos o:

Ejemplo 1

Determinar si la función $f\left(x\right)=x^2$ es simétrica respecto al eje y:

Solución:

Para evaluar la simetría de la función, verifiquemos si se cumple que f(a)=f(-a).

$\begin{array}{c}f\left(a\right)={\left(a\right)}^2\\ =a^2\end{array}$

Teniendo en cuenta que cualquier número negativo elevado a una potencia par es positivo, tenemos:

$\begin{array}{c}f(-a)={(-a)}^2\\ =a^2\end{array}$

Comparando ambas expresiones, vemos que f(a)=f(-a):

En conclusión, la función $f\left(x\right)=x^2$ es simétrica respecto al eje y. En efecto, la gráfica de esta función es la siguiente:

Ejemplo 2

Determinar si la función $f\left(x\right)=x^4-3x^2+4$ es simétrica respecto al eje y:

Solución:

Para evaluar la simetría de la función, verifiquemos si se cumple que f(a)=f(-a).

$\begin{array}{c}f\left(a\right)={\left(a\right)}^4-3{\left(a\right)}^2+4\\ =a^4-3a^2+4\end{array}$

Teniendo en cuenta que cualquier número negativo elevado a una potencia par es positivo, tenemos:

$\begin{array}{c}f(-a)={(-a)}^4-3{(-a)}^2+4\\ =a^4-3a^2+4\end{array}$

Comparando ambas expresiones, vemos que f(a)=f(-a):

En conclusión, la función $f\left(x\right)=x^4-3x^2+4$ es simétrica respecto al eje y. En efecto, la gráfica de esta función es la siguiente:

Ejemplo 3

Determinar si la función $f\left(x\right)=x^2+4x+8$ es simétrica respecto al eje y:

Solución:

Para evaluar la simetría de la función, verifiquemos si se cumple que f(a)=f(-a).

$\begin{array}{c}f\left(a\right)={\left(a\right)}^2+4\left(a\right)+8\\ =a^2+4a+8\end{array}$

Teniendo en cuenta que cualquier número elevado a una potencia positiva, es siempre positivo y cualquier número elevado a una potencia negativa mantiene su signo, obtenemos:

$\begin{array}{c}f(-a)={(-a)}^2+4(-a)+8\\ =a^2-4a+8\end{array}$

Y por lo tanto, $f\left(a\right)\ne f(-a)$

En conclusión, la función $f\left(x\right)=x^2+4x+8$ no es simétrica respecto al eje y. En efecto, la gráfica de esta función es la siguiente:

Funciónes Simétricas respecto a la recta y=x

Podemos ver en la primera gráfica que :

• (0,4) y (4,0) están en la gráfica
• (3,1) y (1,3) están en la gráfica
• (5,-1) y (-1,5) están en la gráfica

Puedes verificar que para cualquier punto que tomes (a,b) en la gráfica, el punto (b, a) también está en la gráfica. Lo mismo ocurre con la segunda gráfica también.

En términos de máquinas, si una función es simétrica respeto al eje de y, sabemos que

Esta característica de las funciónes simétricas respecto la recta x=y, la podemos utilizar para evaluar algebraicamente la simetría cuando tenemos la fórmula de la función. Es decir:

Ejemplo 1

Determinar si la función $f\left(x\right)=x\mathrm{-}4$ es simétrica respecto a la recta x=y:

Solución:

Para evaluar la simetría de la función, supongamos que a la entrada a le corresponde una salida b, es decir: f(a)=b.

Ahora veamos qué sucede si intercambiamos los valores de la entrada y la salida en la fórmula de la función.

$\begin{array}{c}f\left(a\right)=4-a\\ b=4-a\end{array}$

En la expresión anterior, intercambiamos los valores de la entrada y la salida. Luego, resolvemos la ecuación para la variable de salida:

$\begin{array}{c}a=4-b\\ a-a+b=4-b-a+b\\ b=4-a\end{array}$

Como obtuvimos la misma expresión, después de intercambiar los valores de entrada y salida, concluimos que la función $f\left(x\right)=x\mathrm{-}4$ es simétrica respecto a la recta x=y. En efecto, la gráfica de esta función es la siguiente:

Ejemplo 2

Determinar si la función $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ es simétrica respecto a la recta x=y:

Solución:

Para evaluar la simetría de la función, supongamos que a la entrada a le corresponde una salida b, es decir: f(a)=b.

Ahora veamos qué sucede si intercambiamos los valores de la entrada y la salida en la fórmula de la función.

$\begin{array}{c}f\left(a\right)=\frac{1}{a}\\ b=\frac{1}{a}\end{array}$

Cabe aclarar que para que la función esté definida a≠0 y por lo tanto b≠0.

En la expresión anterior, intercambiamos los valores de la entrada y la salida. Luego, resolvemos la ecuación para la variable de salida:

$\begin{array}{c}a=\frac{1}{b}\\ a\left(\frac{b}{a}\right)=\frac{1}{b}\left(\frac{b}{a}\right)\\ b=\frac{1}{a}\end{array}$

Como obtuvimos la misma expresión, después de intercambiar los valores de entrada y salida, concluimos que la función $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ es simétrica respecto a la recta x=y. En efecto, la gráfica de esta función es la siguiente:

Interceptos

Los interceptos de la función son los puntos en donde la gráfica toca los ejes de coordenadas. Estos puntos, que son de la forma (a,0) y (0,b), son los puntos de la función más fáciles de identificar y por lo tanto frecuentemente queremos encontrarlos porque nos proveen información útil en aplicaciones de la vida real.

En la siguiente tabla, mostramos algunas gráficas de funciónes y sus interceptos.

A partir de la fórmula de la función podemos hallar los interceptos con los ejes, de la siguiente manera:

Ejemplo 1:

Encontrar los interceptos de la función $f\left(x\right)=4-x$

Solución:

Intercepto con eje y

$f\left(0\right)=4-0=4$

Por lo tanto el intercepto con el eje y es (0,4)

Interceptos con eje x

$\begin{array}{c}f\left(x\right)=4-x\\ 0=4-x\\ 0+x-4=4-x+x-4\\ x=4\end{array}$

Por lo tanto el intercepto con el eje y es (4,0)

funciónes pares e impares

Función Par

Ejemplo 1

Solución:

Para evaluar la simetría de la función, verifiquemos si se cumple que f(-a)=f(a).

$\begin{array}{c}f\left(a\right)={\left(a\right)}^2\\ =a^2\end{array}$

Teniendo en cuenta que cualquier número negativo elevado a una potencia par es positivo, tenemos:

$\begin{array}{c}f(-a)={(-a)}^2\\ =a^2\end{array}$

Comparando ambas expresiones, vemos que f(-a)=f(a):

En conclusión, la función $f\left(x\right)=x^2$ es par.

Los siguientes son ejemplos de funciónes pares:

Función Impar

Ejemplo 2

Solución:

Para evaluar la simetría de la función, verifiquemos si se cumple que f(-a)=-f(a).

Teniendo en cuenta que cualquier número elevado a una potencia impar mantiene su signo, tenemos:

$\begin{array}{c}f(-a)={(-a)}^3\\ =-a^3\end{array}$

Por otro lado,

$\begin{array}{c}-f\left(a\right)=-\left(a^3\right)\\ =-a^3\end{array}$

Comparando ambas expresiones, vemos que f(-a)=-f(a):

En conclusión, la función $f\left(x\right)=x^3$ es impar.

Los siguientes son ejemplos de funciónes impares:

funciónes Crecientes y Decrecientes

Una forma de entender el comportamiento de una función es observando cómo cambian los valores de la función a medida que crecen los valores de x.

Observemos la siguiente función:

Cómo cambian los valores de la función cuando x cambia de 0 a 1? . Observamos que f(0)=4 y f(1)=2. Lo que implica que en este intervalo la función decrece de 4 a 2.

Cómo cambian los valores de la función cuando x cambia de -1 a 0? . Observamos que f(-1)=2 y f(0)=4.Lo que implica que en este intervalo la función crece de 2 a 4.

Ejemplo 1:

En la siguiente gráfica determinar en qué intervalos es creciente o decreciente.

Solución:

Observando la gráfica vemos que a medida que crece x en el intervalo (-∞,0), el valor de la función se incrementa. Por lo tanto la función es creciente en el intervalo (-∞,0).

Por otro lado, en el intervalo (0,∞), el valor de la función disminuye. Por lo tanto la función es decreciente en el intervalo (0,∞).

Ejemplo 2:

En la siguiente gráfica determinar en qué intervalos es creciente o decreciente.

Solución:

Observando la gráfica vemos que a medida que crece x en el intervalo, el valor de la función siempre crece. Por lo tanto la función es creciente en el intervalo (-∞,∞) o para todos los reales.

Ejemplo 3:

En la siguiente gráfica determinar en qué intervalos es creciente o decreciente.

Solución:

Observando la gráfica vemos que a medida que crece x en el intervalo, el valor de la función siempre disminuye. Por lo tanto la función es decreciente en el intervalo (-∞,∞) o para todos los reales.

Resumen

Ahora que has completado esta lección, deberás ser capaz, utilizando la gráfica o la fómula asociada a una función, de :

• Determinar si la gráfica de una función es simétrica respecto a

  (i) eje y

  (ii) a la recta y=x.

• Determinar si es par o impar.
• Determinar dónde es creciente o decreciente.