Propiedades de Logaritmos

A la hora de evaluar y simplificar expresiones logarítmicas, utilizamos las propiedades de logaritmos. Las propiedades de logarítmos son una serie de reglas que pueden ser demostradas y que nos sirven para hallar el valor de una expresión más rápidamente. La siguiente tabla te permitirá explorar las mismas. Haz click en cualquiera de las leyes para ver la misma y una serie de ejemplos.

\log_{b} (1) = 0

Obtener el valor de $\log_{2} (1)$

En la lección de Introducción a Funciones Logarítmicas aprendimos que

$y = \log_{2} (x)$ y $x = 2^{y}$ son equivalentes.

Entonces, $y = \log_{2} (1)$ y $1 = 2^{y}$ son equivalentes.

$1 = 2^{y}$ es cierto cuando y = 0, y entonces, $y = \log_{2} (1)$ también es cierto cuando y = 0

Por lo tanto:
$\log_{2} (1) = 0$

Dado un número b, positivo y distinto de 1, sabemos que:

$y = \log_{b} (1)$ y $1 = b^{y}$ son equivalentes.

Además, para cualquier número real b, se cumple que:

$b^{0} = 1$

Por lo tanto, las expresiones $1 = b^{y}$ y $y = \log_{b} (1)$ son ciertas cuando y = 0

En conclusión: $\log_{b} (1) = 0$

\log_{b} (b) = 1

Obtener el valor de $\log_{5} (5)$

En la lección de Introducción a Funciones Logarítmicas aprendimos que

$y = \log_{5} (x)$ y $x = 5^{y}$ son equivalentes.

Entonces, $y = \log_{5} (5)$ y $5 = 5^{y}$ son equivalentes.

$5 = 5^{y}$ es cierto cuando y = 1, y entonces, $y = \log_{5} (5)$ también es cierto cuando y = 1

Por lo tanto:
$\log_{5} (5) = 1$

Dado un número b, positivo y distinto de 1, sabemos que:

$y = \log_{b} (b)$ y $b = b^{y}$ son equivalentes.

Además, para cualquier número real b, se cumple que:

$b^{1} = b$

Por lo tanto, las expresiones $b = b^{y}$ y $y = \log_{b} (b)$ son ciertas cuando y = 1

En conclusión: $\log_{b} (b) = 1$

b^{\log_{b} (a)} = a

Obtener el valor de $2^{\log_{2} (8)}$

Sabemos que, $\log_{2} (8) = 3$

Por lo tanto,

$2^{\log_{2} (8)} = 2^{3} = 8$

En conclusión:
$2^{\log_{2} (8)} = 8$

Recordemos que la función logarítmica es inversa de la función exponencial.

Si $f (x) = \log_{b} (x)$ y $f^{-1} (x) = b^{x}$ entonces, se cumple que:

$f^{-1} (f (a)) = a$

En notación de máquina tenemos:

propiedad 3

Y por ser funciones inversas, la salida de la segunda máquina debe ser igual a la entrada de la primera, es decir igual a a.

En conclusión: $b^{\log_{b} (a)} = a$

\log_{b} (b^{a}) = a

Obtener el valor de $\log_{2} (2^{3})$

Sabemos que, $2^{3} = 8$

Por lo tanto,

$\log_{2} (2^{3}) = \log_{2} (8) = 3$

En conclusión:
$\log_{2} (2^{3}) = 3$

Recordemos que la función logarítmica es inversa de la función exponencial.

Si $f (x) = b^{x}$ y $f^{-1} (x) = \log_{b} (x)$ entonces, se cumple que:

$f^{-1} (f (a)) = a$

En notación de máquina tenemos:

propiedad 3

Y por ser funciones inversas, la salida de la segunda máquina debe ser igual a la entrada de la primera, es decir igual a a.

En conclusión: $\log_{b} (b^{a}) = a$

\log_{b} (a c) = \log_{b} (a) + \log_{b} (c)

$\log (100 \times 1000) = \log (10^{2} \times 10^{3}) = \log (10^{5}) = 5$

$\log (100) = \log (10^{2}) = 2$

$\log (1000) = \log (10^{3}) = 3$

En conclusión,
$\log (100 \times 1000) = \log (100) + \log (1000)$

Dados dos números a y c positivos, sabemos que, por el rango de $f (x) = e^{x}$ , existen p y q tales que $a = e^{p}$ y $c = e^{q}$ .

Y, en consecuencia:

$\ln (a) = \ln (e^{p}) = p$

$\ln (c) = \ln (e^{q}) = q$

$\ln (a c) = \ln (e^{p} \times e^{q}) = \ln (e^{p + q}) = p + q$

Así

$\ln (a c) = p + q = \ln (a) + \ln (c)$

En conclusión: $\ln (a c) = \ln (a) + \ln (c)$

Nota: La demostración sigue siendo correcta cuando se reemplaza la base e con cualquier otra base.

\log_{b} (\frac{a}{c}) = \log_{b} (a) - \log_{b} (c)

$\log_{2} (\frac{64}{8}) = \log_{2} (\frac{2^{6}}{2^{3}}) = \log_{2} (2^{3}) = 3$

$\log_{2} (64) = \log_{2} (2^{6}) = 6$

$\log_{2} (8) = \log_{2} (2^{3}) = 3$

En conclusión,

\log_{2} (\frac{64}{8}) = \log_{2} (64) - \log_{2} (8)

Dados dos números a y c positivos, sabemos que, por el rango de $f (x) = e^{x}$ , existen p y q tales que $a = e^{p}$ y $c = e^{q}$ .

Y, en consecuencia:

$\ln (a) = \ln (e^{p}) = p$

$\ln (c) = \ln (e^{q}) = q$

$\ln (\frac{a}{c}) = \ln (\frac{e^{p}}{e^{q}}) = \ln (e^{p - q}) = p - q$

Así

$\ln (\frac{a}{c}) = p - q = \ln (a) - \ln (c)$

En conclusión: $\ln (\frac{a}{c}) = \ln (a) - \ln (c)$

Nota: La demostración sigue siendo correcta cuando se reemplaza la base e con cualquier otra base.

\log_{b} (a^{n}) = n \times \log_{b} (a)

$\log_{2} (4^{3}) = \log_{2} ({2^{2}}^{3}) = \log_{2} (2^{6}) = 6$

Por otro lado:

$3 \times \log_{2} (4) = 3 \times 2 = 6$

En conclusión,

\log_{2} (4^{3}) = 3 \times \log_{2} (4)

Dados los números a, n y b, con b positivo y distinto de 1:

$\log_{b} (a^{n}) = \log_{b} (\underset{\underset{n veces}{︸}}{a \times a \times ... \times a})$

Aplicando la propiedad del producto:

$\begin{matrix} \log_{b} (\underset{\underset{n veces}{︸}}{a \times a \times ... \times a}) = \underset{\underset{n veces}{︸}}{\log_{b} (a) + \log_{b} (a) + ... + \log_{b} (a)} \\ = n \times \log_{b} (a) \end{matrix}$

En conclusión,

\log_{b} (a^{n}) = n \times \log_{b} (a)

\log_{b} (a) = \frac{\log_{B} (a)}{\log_{B} (b)}

Sabemos que: $\log_{4} (16) = 2$

Por otro lado, $\frac{\log_{2} (16)}{\log_{2} (4)} = \frac{4}{2} = 2$

Por lo tanto,
$\log_{4} (16) = \frac{\log_{2} (16)}{\log_{2} (4)}$

Dados los números positivos a, b y B, con b y B distintos de 1. La tercera propiedad mostrada aquí, establece que lo siguiente es cierto:

$b^{\log_{b} (a)} = a$

Si aplicamos el logaritmo en base B a ambos lados de la ecuación, la igualdad se mantiene:

$\log_{B} (b^{\log_{b} (a)}) = \log_{B} (a)$

Al lado izquierdo de la ecuación tenemos el logaritmo de una potencia. La cuarta propiedad mostrada aquí, establece que el exponente puede pasar a multiplicar al logaritmo, así:

$\log_{b} (a) \times \log_{B} (b) = \log_{B} (a)$

Finalmente, dividiendo entre $\log_{B} (b)$ a ambos lados de la ecuación, obtenemos

\frac{\log_{b} (a) \times \log_{B} (b)}{\log_{B} (b)} = \frac{\log_{B} (a)}{\log_{B} (b)}

En conclusión: $\log_{b} (a) = \frac{\log_{B} (a)}{\log_{B} (b)}$

Propiedades de Logaritmos
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Intuición mediante Ejemplo Numérico				Demostración

Simplificar Expresiones Logarítmicas

Ejemplo 1:

Simplificar la expresión: $\log (a^{2} b^{3})$

Solución:

$\begin{matrix} \log (a^{2} b^{3}) = \log (a^{2}) + \log (b^{3}) \\ = 2 \log (a) + 3 \log (b) \end{matrix}$

Ejemplo 2:

Simplificar la expresión: $\ln (\sqrt{a b^{3}})$

Solución:

$\begin{matrix} \ln (\sqrt{a b^{3}}) = \ln ({(a b^{3})}^{\frac{1}{2}}) \\ = \frac{1}{2} \ln (a b^{3}) \\ = \frac{1}{2} (\ln (a) + \ln (b^{3})) \\ = \frac{1}{2} \ln (a) + \frac{1}{2} (3) \ln (b) \\ = \frac{1}{2} \ln (a) + \frac{3}{2} \ln (b) \end{matrix}$

Ejemplo 3:

Si ln(a) = 3 y ln (b) = 5, simplificar $\ln (\frac{a}{b^{3}})$

Solución:

$\begin{matrix} \ln (\frac{a}{b^{3}}) = \ln (a) - \ln (b^{3}) \\ = \ln (a) - 3 \ln (b) \\ = 3 - 3 (5) \\ = - 12 \end{matrix}$

Ejemplo 4:

Si $\log_{2} (a) = 21$ , simplificar $\log_{2} (16 a^{2})$

Solución:

$\begin{matrix} \log_{2} (16 a^{2}) = \log_{2} (16) + \log_{2} (a^{2}) \\ = \log_{2} (16) + 2 \log_{2} (a) \\ = 4 + 2 (21) \\ = 46 \end{matrix}$

Ejemplo 5:

Si $\log_{b} (a) = 8$ y $\log_{b} (c) = 4$ , hallar $\log_{c} (a)$

Solución:

$\begin{matrix} \log_{c} (a) = \frac{\log_{b} (a)}{\log_{b} (c)} \\ = \frac{8}{4} \\ = 2 \end{matrix}$

Resolver Ecuaciones usando Propiedades de Logaritmos

En la lección de Resolución de ecuaciones lineales, vimos que si aplicamos la misma operación a ambos lados de una ecuación, la igualdad continúa siendo verdadera.

Para resolver ecuaciones donde la variable desconocida es un exponente, se utiliza la técnica de aplicar logaritmo a ambos lados de la ecuación. Como podemos usar cualquier base, utilizaremos la que consideremos más apropiada para el problema. En algunos casos es útil usar la base e pues en las calculadoras podemos obtener el ln.

Cuando la ecuación incluye el logaritmo de una variable desconocida se aplica la exponencial a ambos lados de la ecuación.

Ejemplos:

Resolver las siguientes ecuaciones:

$2^{x} = 5$

Solución:

$\begin{matrix} 2^{x} = 5 \\ \ln (2^{x}) = \ln (5) \\ x \ln (2) = \ln (5) \\ x = \frac{\ln (5)}{\ln (2)} \\ x \approx 2.322 \end{matrix}$
$5 e^{(x + 5)} = 20$

Solución:

$\begin{matrix} 5 e^{(x + 5)} = 20 \\ e^{(x + 5)} = \frac{20}{5} \\ e^{(x + 5)} = 5 \\ \ln (e^{(x + 5)}) = \ln (5) \\ (x + 5) \ln (e) = \ln (5) \\ (x + 5) (1) = \ln (5) \\ x + 5 = \ln (5) \\ x = \ln (5) - 5 \\ x \approx - 3.39 \end{matrix}$
$2^{(2 x + 1)} = 3^{(4 - x)}$

Solución:

$\begin{matrix} 2^{(2 x + 1)} = 3^{(4 - x)} \\ \ln (2^{(2 x + 1)}) = \ln (3^{(4 - x)}) \\ (2 x + 1) \ln (2) = (4 - x) \ln (3) \\ 2 x \ln (2) + 1 \ln (2) = 4 \ln (3) - x \ln (3) \\ 2 x \ln (2) + x \ln (3) = 4 \ln (3) - 1 \ln (2) \\ x (2 \ln (2) + \ln (3)) = 4 \ln (3) - \ln (2) \\ x = \frac{4 \ln (3) - \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} \\ x \approx 1.49 \end{matrix}$
$\log_{5} (x) = 2$

Solución:

$\begin{matrix} \log_{5} (x) = 2 \\ 5^{(\log_{5} (x))} = 5^{2} \\ x = 25 \end{matrix}$
$\log_{2} (25 - x) = 3$

Solución:

$\begin{matrix} \log_{2} (25 - x) = 3 \\ 2^{(\log_{2} (25 - x))} = 2^{3} \\ 25 - x = 8 \\ x = 25 - 8 \\ x = 17 \end{matrix}$

Resumen

Identificar y entender las propiedades de logaritmos.
Aplicar las propiedades de logaritmos para simplificar expresiones.
Usar las propiedades de logaritmos para resolver ecuaciones.

Propiedades de Logaritmos

Objetivos