Gráficas de Funciones Exponenciales

Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

Hacer transformaciones fundamentales con funciones exponenciales.
Reconocer funciones exponenciales transformadas.
Resolver problemas de aplicación con funciones exponenciales transformadas.

Introducción

En la lección de Transformación de Funciones, vimos las transformaciones que se producen por el efecto de estirar y trasladar en una variedad de funciones. Encontramos que:

Restar k de la entrada produce una traslación horizontal de k unidades a la derecha.
Sumar k a la la entrada produce una traslación horizontal k unidades a la izquierda.
Sumar k a la salida produce una traslación vértical de k unidades hacia arriba.
Restar k de la salida produce una traslación vértical de k unidades hacia abajo.
Multiplicar por k>1 produce un estiramiento vértical por un factor de k en la función original.
Multiplicar por 0<k<1 produce un encogimiento vértical en la función original.
Multiplicar k<0 por la salida produce una reflexión sobre el eje de x y un estiramiento/encogimiento de la gráfica por un factor de k unidades hacia abajo.
Si se multiplica por k la entrada produce un alargamiento horizontal si k > 1, y un encogimiento horizontal si 0<k<1.

Puedes revisar como usar estas transformaciones simultaneamente en la aplicacion de abajo.

Transformaciones

Ejemplo 1:

Graficar la función $f (x) = 1 + 5 \times 2^{\frac{x - 2}{3}}$

Solución:

$2^{\frac{x}{3}} \Rightarrow 5 \times 2^{\frac{x}{3}}$	Gráfica de $f (x) = 2^{\frac{x}{3}}$	Agregamos el factor 5 para obtener $f (x) = 5 \times 2^{\frac{x}{3}}$
$5 \times 2^{\frac{x}{3}} \Rightarrow 5 \times 2^{\frac{x - 2}{3}}$	Gráfica de $f (x) = 5 \times 2^{\frac{x}{3}}$	Restamos 2 a la entrada y obtenemos $f (x) = 5 \times 2^{\frac{x - 2}{3}}$
$5 \times 2^{\frac{x - 2}{3}} \Rightarrow 1 + 5 \times 2^{\frac{x - 2}{3}}$	Gráfica de $f (x) = 5 \times 2^{\frac{x - 2}{3}}$	Sumando 1 a la salida, tenemos $f (x) = 1 + 5 \times 2^{\frac{x - 2}{3}}$
$1 + 5 \times 2^{\frac{x - 2}{3}}$	Gráfica de $f (x) = 1 + 5 \times 2^{\frac{x - 2}{3}}$	Finalmente, esta es la gráfica de $f (x) = 1 + 5 \times 2^{\frac{x - 2}{3}}$
${(\frac{1}{4})}^{\frac{x}{3}} \Rightarrow 2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{x}{3}}$	Gráfica de $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{\frac{x}{3}}$	Agregamos el factor 2 para obtener $f (x) = 2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{x}{3}}$
$2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{x}{3}} \Rightarrow 2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{x + 5}{3}}$	Gráfica de $f (x) = 2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{x}{3}}$	Sumamos 5 a la entrada y obtenemos $f (x) = 2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{x + 5}{3}}$
$2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{x + 5}{3}} \Rightarrow 3 + 2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{x + 5}{3}}$	Gráfica de $f (x) = 2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{x + 5}{3}}$	Sumando 3 a la salida, tenemos $f (x) = 3 + 2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{x + 5}{3}}$
$3 + 2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{x + 5}{3}}$	Gráfica de $f (x) = 3 + 2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{x + 5}{3}}$	Finalmente, esta es la gráfica de $f (x) = 3 + 2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{x + 5}{3}}$
$e^{x} \Rightarrow \frac{1}{2} e^{x}$	Podemos graficar $f (x) = e^{x}$ utilizando una tabla de valores, así:	Agregamos el factor ½ para obtener $f (x) = \frac{1}{2} e^{x}$
$\frac{1}{2} e^{x} \Rightarrow \frac{1}{2} e^{(x - 5)}$	Gráfica de $f (x) = \frac{1}{2} e^{x}$	Restamos 5 de la entrada y obtenemos $f (x) = \frac{1}{2} e^{(x - 5)}$
$\frac{1}{2} e^{(x - 5)} \Rightarrow - 3 + \frac{1}{2} e^{(x - 5)}$	Gráfica de $f (x) = \frac{1}{2} e^{(x - 5)}$	Restando 3 a la salida, tenemos $f (x) = - 3 + \frac{1}{2} e^{(x - 5)}$
$- 3 + \frac{1}{2} e^{(x - 5)}$	Gráfica de $f (x) = - 3 + \frac{1}{2} e^{(x - 5)}$	Finalmente, esta es la gráfica de $- 3 + \frac{1}{2} e^{(x - 5)}$


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Ejemplo 2:

Graficar la función $f (x) = 3 + 2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{x + 5}{3}}$

Solución:


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Ejemplo 3:

Graficar la función $f (x) = - 3 + \frac{1}{2} e^{(x - 5)}$

Solución:


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Dominio y Rango de Funciones Exponenciales

Ejemplo 1:

Hallar el dominio y el rango de la función $f (x) = 2^{x}$

Solución:

Sabemos que la gráfica de la función $f (x) = 2^{x}$ es la siguiente.

Final

Es importante notar que a medida que x disminuye hacia el infinito negativo, la función se acerca al eje x pero no lo cruza. Así el eje x viene a ser una asíntota para esta función. A partir de la gráfica obtenida podemos identificar el dominio y el rango:

El dominio de $f (x) = 2^{x}$ es { x tal que x es un número real}

El rango de $f (x) = 2^{x}$ es { f(x) tal que f(x) > 0}

Ejemplo 2:

Hallar el dominio y el rango de la función $f (x) = 1 + 5 \times 2^{\frac{x - 2}{3}}$

Solución:

En la sección anterior graficamos esta función mediante transformaciones sucesivas de $f (x) = 2^{\frac{x}{3}}$ .

Final

A partir de la gráfica podemos identificar el dominio y el rango:

El dominio de $f (x) = 1 + 5 \times 2^{\frac{x - 2}{3}}$ es { x tal que x es un número real}

El rango de $f (x) = 1 + 5 \times 2^{\frac{x - 2}{3}}$ es { f(x) tal que f(x)x > 1}

Ejemplo 3:

Hallar el dominio y el rango de la función $f (x) = 3 + 2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{x + 5}{3}}$

Solución:

En la sección anterior graficamos esta función mediante transformaciones sucesivas de $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{\frac{x}{3}}$

Final

A partir de la gráfica podemos identificar el dominio y el rango:

El dominio dn $f (x) = 3 + 2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{x + 5}{3}}$ es { x tal que x es un número real}

El rango dn $f (x) = 3 + 2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{x + 5}{3}}$ es { f(x) tal que f(x) > 3}

Ejemplo 4:

Hallar el dominio y el rango de la función $f (x) = 5 -3 \times 2^{\frac{x - 2}{3}}$

Solución:

Realizando transformaciones sucesivas como aprendimos en la sección anterior, obtenemos la gráfica de esta función a partir de $f (x) = 2^{\frac{x}{3}}$ . Ten en cuenta que el signo negativo antes del 3 produce una reflexión de la gráfica.

Final

De la gráfica obtenemos que:

El dominio de $f (x) = 5 -3 \times 2^{\frac{x - 2}{3}}$ es { x tal que x es un número real}

El rango de $f (x) = 5 -3 \times 2^{\frac{x - 2}{3}}$ es { f(x) tal que f(x) < 5}

Reconocer Funciones Exponenciales Transformadas

Recordemos que las funciones exponenciales que no se trasladan hacia arriba o hacia abajo van a doblarse o reducirse por la mitad periodicamente. Para reconocer una funcion exponencial, realizamos los siguientes pasos:

Mover la grafica hacia arriba o hacia abajo para que su asínotota horizontal sea y=0.
Determinar si la función es creciente o decreciente y

Si la función es creciente determinar si existe una valor constante k tal que al avanzar k unidades a la derecha, el valor de y dobla.
Si la función es decreciente determinar si existe una valor constante k tal que al avanzar k unidades a la derecha, el valor de y se reduce por la mitad.

Si existe constante k en el paso anterior, entonces la gráfica corresponde a una función exponencial desplazada.

Ejemplo 1:

Determinar si la función representada por la siguiente gráfica es una función exponencial.

Final

Solución:

Paso 1. Mover la grafica hacia arriba o hacia abajo para que su asínotota horizontal sea y=0.

Vemos que en este caso, la gráfica está desplazada hacia arriba. Observamos que a medida que decrece el valor de x, la gráfica se acerca a la recta y=5, por lo tanto esta recta es la asíntota de la función. También notemos que la función es creciente.

Paso 2. Si la función es creciente determinar si existe una valor constante k tal que al avanzar k unidades a la derecha, el valor de y dobla.

Ubicamos un punto de partida, por ejemplo (-8,1). A partir de este punto, vemos que el valor de y se dobla cada 3 unidades de avance en x. Por lo tanto, la gráfica es una transformación de $f (x) = 2^{\frac{x}{3}}$

Final

En conclusión, la gráfica si corresponde a una función exponencial.

Ejemplo 2:

Determinar si la función representada por la siguiente gráfica es una función exponencial.

Final

Solución:

Paso 1. Mover la grafica hacia arriba o hacia abajo para que su asínotota horizontal sea y=0.

Vemos que en este caso, la gráfica está desplazada hacia abajo. Observamos que a medida que crece el valor de x, la gráfica se acerca a la recta y=-4, por lo tanto esta recta es la asíntota de la función. También notemos que la función es decreciente.

Paso 2. Si la función es decreciente determinar si existe una valor constante k tal que al avanzar k unidades a la derecha, el valor de y se reduce por la mitad. .

Vemos por ejemplo, partiendo de (-2,12) que el valor de y se reduce a la mitad cada 2 unidades de avance en x. Por lo tanto, la gráfica es una transformación de $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{\frac{x}{2}}$

Final

En conclusión, la gráfica si corresponde a una función exponencial.

Ejemplo 3:

Determinar si la función representada por la siguiente gráfica es una función exponencial.

Final

Solución:

Paso 1. Mover la grafica hacia arriba o hacia abajo para que su asínotota horizontal sea y=0.

Vemos que en este caso, la gráfica está desplazada hacia arriba. Observamos que a medida que crece el valor de x, la gráfica se acerca a la recta y=2, por lo tanto esta recta es la asíntota de la función. También notemos que la función es decreciente.

Paso 2. Si la función es decreciente determinar si existe una valor constante k tal que al avanzar k unidades a la derecha, el valor de y se reduce por la mitad. .

Vemos por ejemplo, partiendo de (-2,12) que el valor de y se reduce a la mitad después de 1 unidad de avance en x. Sin embargo, si continuamos avanzando 1 una unidad, el valor esperado de y=3 se encuentra fuera de la gráfica. Por lo tanto, no existe k.

Final

En conclusión, la gráfica no corresponde a una función exponencial.

Aplicacion: Ley de Enfriamiento de Newton

Ejemplo 1:

Un líquido en una taza tiene una temperatura de 50 grados. Si la temperatura ambiental es de 80 grados. La ley de enfriamiento de Newton y algunos experimentos indican que la diferencia entre las dos temperaturas reduce por la mitad cada 2 horas ¿Cuál será la temperatura del líquido en la taza cuando han transcurrido 5 horas?

Solución:

Obtener la fórmula

Definimos las variables y la función que queremos obtener:

x = horas transcurridas
y = f(x) = temperatura del líquido en la taza después de x horas

Construyamos una tabla para algunos valores de x, teniendo en cuenta que la temperatura ambiental es mayor que la del líquido en la taza:

x	0	2	4
80-f(x)	30	30×½	30×(½)²

De la tabla obtenemos la siguiente fórmula:

$80 - f (x) = 30 \times {(\frac{1}{2})}^{\frac{x}{2}}$

De donde obtenemos la fórmula para f(x):

$f (x) = 80 - 30 \times {(\frac{1}{2})}^{\frac{x}{2}}$

Usar la fórmula para resolver el problema

Para responder a la pregunta, simplemente usamos la fórmula para x=5.

$f (5) = 80 - 30 \times {(\frac{1}{2})}^{\frac{5}{2}} = 74.7$

También podemos apreciar este resultando observando la gráfica de la función que es la siguiente. Note que la temperatura del líquido aumenta acercándose a la temperatura ambiental.

Final

Ejemplo 2:

Un líquido en una taza tiene una temperatura de 90 grados. Si la temperatura ambiental es de 70 grados. La ley de enfriamiento de Newton y algunos experimentos indican que la diferencia entre las dos temperaturas reduce por la mitad cada 2 horas ¿Cuál será la temperatura del líquido en la taza cuando han transcurrido 6 horas?

Solución:

Obtener la fórmula

Definimos las variables y la función que queremos obtener:

x = horas transcurridas
y = f(x) = temperatura del líquido en la taza después de x horas

g(x) = diferencia entre la temperatura ambiental y la temperatura del líquido

Construyamos una tabla para algunos valores de x, teniendo en cuenta que la temperatura del líquido en la taza es mayor que la temperatura ambiental:

x	0	2	4
f(x)-70	20	20×½	20×(½)²

De la tabla obtenemos la siguiente fórmula:

$f (x) - 70 = 20 \times {(\frac{1}{2})}^{\frac{x}{2}}$

De donde obtenemos la fórmula para f(x):

$f (x) = 70 + 20 \times {(\frac{1}{2})}^{\frac{x}{2}}$

Usar la fórmula para resolver el problema

Para responder a la pregunta, simplemente usamos la fórmula para x=5.

$f (6) = 70 + 20 \times {(\frac{1}{2})}^{\frac{6}{2}} = 72.5$

También podemos apreciar este resultando observando la gráfica de la función que es la siguiente. Note que la temperatura del líquido disminuye acercándose a la temperatura ambiental.

Final

Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

Hacer transformaciones fundamentales con funciones exponenciales.
Reconocer funciones exponenciales transformadas.
Resolver problemas de aplicación con funciones exponenciales transformadas.