Cambio de Base de Funciones Exponenciales y la Base e

Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

• Interpretar gráficamente el cambio de base de funciones exponenciales.
• Identificar relaciones exponenciales crecientes y decrecientes.
• Expresar funciones exponenciales con la base e.

Introducción

En la lección de Introducción a funciones exponenciales, aprendimos que si una cantidad se multiplica por una constante periodicamente, se puede formular como una función exponencial.

Analicemos las siguientes situaciones, y sus respectivas gráficas:

1. Una inversión comienza con 1 dólar y se duplica cada año. Si x representa la cantidad de años transcurridos y f(x) la cantidad de dinero después de x años, las siguientes son la tabla, fórmula y gráfica asociadas a f(x).

   x 0 1 2 3 4 f(x) 1=1×20 2=1×21 4=1×22 8=1×23 16=1×24 De la tabla anterior, obtenemos la fórmula de f(x): $f\left(x\right)=2^x$

2. Una inversión comienza con 1 dólar y se triplica cada 1.6 años. Si x representa la cantidad de años transcurridos y f(x) la cantidad de dinero después de x años, las siguientes son la tabla, fórmula y gráfica asociadas a f(x).

   x 0 1.6 3.2 4.8 f(x) 1=1×30 3=1×31 9=1×32 27=1×33 De la tabla anterior, obtenemos la fórmula de f(x): $f\left(x\right)=3^{\frac{x}{1.6}}$

3. Una inversión comienza con 1 dólar y se cuadruplica cada dos años. Si x representa la cantidad de años transcurridos y f(x) la cantidad de dinero después de x años, las siguientes son la tabla, fórmula y gráfica asociadas a f(x).

   x 0 2 4 6 f(x) 1=1×40 4=1×41 16=1×42 64=1×43 De la tabla anterior, obtenemos la fórmula de f(x): $f\left(x\right)=4^{\frac{x}{2}}$

Nota que en todas las gráficas anteriores, los puntos pertenecientes a las curvas, coinciden en las tres gráficas.

De hecho, esto es cierto para todos los valores de x. Gráficamente, podemos verificar esta afirmación, sobreponiendo las gráficas anteriores, como se muestra en la siguiente figura:

También lo podemos verificar algebráicamente usando las fórmulas de las funciones.

Por ejemplo, a partir de $f\left(x\right)=4^{\frac{x}{2}}$, podemos obtener $f\left(x\right)=2^x$

En efecto,

$\begin{array}{c}f\left(x\right)=4^{\frac{x}{2}}\\ ={\left(2^2\right)}^{\frac{x}{2}}\\ =2^{\frac{2x}{2}}\\ =2^x\end{array}$

Los ejemplos anteriores nos llevan a pensar que $f\left(x\right)=2^x$ se puede expresar con base 3 ó 4. De hecho, se puede expresar con cualquier base positiva distinta de 1. En esta lección exploramos cómo cambiar la base de una función exponencial e introducimos la base e que es la base mas común para funciones exponenciales.

Cambios de base con Gráficas

• Crea tu propia función exponencial, eligiendo un parámetro k y una de las opciones disponibles.


• Haz ''click'' sobre el boton y mira como la función exponecial dobla su valor cada cierto periodo. Utiliza el deslizador zoom para una mejor visualización.


• Descubre la regla.

Funciones Exponenciales Crecientes y Decrecientes

En los ejemplos propuestos en la lección de Introducción a funciones exponenciales habíamos expresado las funciones exponenciales decrecientes como:

$f\left(x\right)=a\times b^x$

donde 0<b<1.

Sin embargo, recordemos que:

$\begin{array}{c}{\frac{1}{2}}^x={\left(2^{-1}\right)}^x\\ =2^{\mathrm{-x}}\end{array}$

Lo anterior demuestra que existe otra manera de representar las funciones decrecientes. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo:

Una máquina industrial cuyo precio de compra es de 3 millones de dólares se deprecia a la mitad cada 3 años. Si x representa la cantidad de años transcurridos y f(x) el valor en millones de dólares de la máquina después de x años.

1. ¿Cuál es la fórmula asociada a la función f(x)?
2. ¿Cuál sería la fórmula si la máquina se deprecia a la tercera parte de su valor cada 5 años?
3. ¿Cuál sería la fórmula si la máquina se deprecia a la mitad de su valor cada 6 años?
4. ¿Cómo cambiaría el enunciado del ejemplo si la fórmula obtenida fuera $f\left(x\right)={10}^{-\frac{x}{5}}$?
5. ¿Cómo cambiaría el enunciado del ejemplo si la fórmula obtenida fuera $f\left(x\right)=5^{-\frac{x}{10}}$ ?
6. ¿Cómo cambiaría el enunciado del ejemplo si la fórmula obtenida fuera $f\left(x\right)=7^{-\frac{x}{2}}$ ?

Solución:

1. ¿Cuál es la fórmula asociada a la función f(x)?

   Haciendo un análisis similar a lo aprendido en la lección de Introducción a funciones exponenciales, encontraremos que la fórmula asociada con el problema es:

   $\begin{array}{c}f\left(x\right)=3{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{x}{3}}\\ =3{\left(2^{-1}\right)}^{\frac{x}{3}}\\ =3{\left(2\right)}^{-\frac{x}{3}}\end{array}$

2. ¿Cuál sería la fórmula si la máquina se deprecia a la tercera parte de su valor cada 5 años?

   $\begin{array}{c}f\left(x\right)=3{\left(\frac{2}{3}\right)}^{\frac{x}{5}}\\ =3{\left({\frac{3}{2}}^{-1}\right)}^{\frac{x}{5}}\\ =3{\left(\frac{3}{2}\right)}^{-\frac{x}{5}}\end{array}$

3. ¿Cuál sería la fórmula si la máquina se deprecia a la mitad de su valor cada 6 años?

   $\begin{array}{c}f\left(x\right)=3{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{x}{6}}\\ =3{\left(2^{-1}\right)}^{\frac{x}{6}}\\ =3{\left(2\right)}^{-\frac{x}{6}}\end{array}$

4. ¿Cómo cambiaría el enunciado del ejemplo si la fórmula obtenida fuera $f\left(x\right)=3{\left(\frac{10}{9}\right)}^{-\frac{x}{5}}$?

   $\begin{array}{c}f\left(x\right)=3{\left(\frac{10}{9}\right)}^{-\frac{x}{5}}\\ =3{\left({\left(\frac{10}{9}\right)}^{-1}\right)}^{\frac{x}{5}}\\ =3{\left(\frac{9}{10}\right)}^{\frac{x}{5}}\end{array}$

   El enunciado para esta fórmula sería:

   Una máquina industrial cuyo precio de compra es de 1 millón de dólares se deprecia 1/10 de su valor cada 5 años.

5. ¿Cómo cambiaría el enunciado del ejemplo si la fórmula obtenida fuera $f\left(x\right)=3{\left(\frac{5}{4}\right)}^{-\frac{x}{5}}$?

   $\begin{array}{c}f\left(x\right)=3{\left(\frac{5}{4}\right)}^{-\frac{x}{5}}\\ =3{\left({\left(\frac{5}{4}\right)}^{-1}\right)}^{\frac{x}{5}}\\ =3{\left(\frac{4}{5}\right)}^{\frac{x}{5}}\end{array}$

   El enunciado para esta fórmula sería:

   Una máquina industrial cuyo precio de compra es de 1 millón de dólares se deprecia 1/5 de su valor cada 10 años.

6. ¿Cómo cambiaría el enunciado del ejemplo si la fórmula obtenida fuera $f\left(x\right)=3{\left(\frac{7}{3}\right)}^{-\frac{x}{2}}$?

   $\begin{array}{c}f\left(x\right)=3{\left(\frac{7}{3}\right)}^{-\frac{x}{2}}\\ =3{\left({\left(\frac{7}{3}\right)}^{-1}\right)}^{\frac{x}{2}}\\ =3{\left(\frac{3}{7}\right)}^{\frac{x}{2}}\end{array}$

   El enunciado para esta fórmula sería:

   Una máquina industrial cuyo precio de compra es de 1 millón de dólares se deprecia 4/7 de su valor cada 2 años.

   
   

La base e

Hemos visto que podemos expresar cualquier función exponencial con cualquier base positiva distinta de 1. Por razones que entenderemos en Cálculo, la base e es la más conveniente para expresar funciones exponenciales y por eso es la base mas común en calculadoras y computadoras. Por lo que, para usar la technología, normalmente tenemos que expresar una función con la base e.

Geogebra. Expresa $2^x$, $3^x$ y ${10}^x$ con la base e.

Geogebra. Expresa ${\frac{1}{2}}^x$, ${\frac{1}{3}}^x$, y ${\frac{1}{10}}^x$ con la base e.

Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

• Interpretar gráficamente el cambio de base de funciones exponenciales.
• Identificar relaciones exponenciales crecientes y decrecientes.
• Expresar funciones exponenciales con la base e.