Dominio y Rango

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  Objetivos:

1. Calcular el Dominio y el Rango de una función gráficamente.
2. Calcular el Dominio y el Rango de una función analíticamente.

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Introducción

Estudiar el dominio y el rango de una función es muy importante en las matemáticas. Conocer los mismos es primordial a la hora de analizar y describir el comportamiento de una función. Si seguimos considerando a f como una máquina de entrada y salida, entonces se definen los conceptos de dominio y rango como sigue:

Cuando se ingresan valores del dominio en una función se obtienen valores del rango.

Para ilustrar los conceptos de dominio y rango consideremos lo siguiente:

A una tienda le quedan $5$ manzanas a un costo de $50$ centavos cada una. Si se describe una función de venta, encuentre el dominio y el rango para esta función.

El problema se resume a pensar lo siguiente: suponga que tiene una máquina que dado el numero de manzanas nos devuelve el costo de las mismas. El dominio viene dado por el numero de manzanas que podemos entrar en la maquina y el rango por los costos que salen de la misma (ver la siguiente figura).


Asi que el dominio y el rango vienen dados por:

$\mathrm{Dominio}=\{0,1,2,3,4,5\}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em},\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\mathrm{Rango}=\{0,0.5,1,1.5,2,2.5\}$.

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Dominio y Rango Gráficamente

Es posible encontrar el dominio y el rango de una función si se nos provee su gráfica. Para encontrar el dominio de una función utilizando su gráfica se debe prestar particular atención al eje de x, observando para que valores de $x$ podemos encontrar un valor asociado de la función. El rango se encuentra utilizando el eje de y, observando para que valores de $y$ la función está definida. La siguiente aplicación interactiva nos permite ver el dominio y el rango de una función radical. El dominio de esta función es ilustrado en la gráfica utilizando una línea de color rojo, del mismo modo el rango es ilustrado utilizando una línea de color verde. En este caso la línea de color rojo comienza en 4 y se extiende indefinidamente, esto nos indica que

Dominio de f ${\displaystyle =\{x}$ de manera que ${\displaystyle x\ge 4\}}$

Del mismo modo la línea de color verde comienza en 0 y se extiende indefinidamente, por lo tanto

Rango de f ${\displaystyle =\{y}$ de manera que ${\displaystyle y\ge 0\}}$

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Creado por Jesús M. Cajigas utilizando GeoGebra
Los valores de a, h y k pueden ser cambiados en la aplicación anterior arrastrando el punto que aparece en la parte inferior de cada letra hacia la izquierda o la derecha. Utiliza la aplicación anterior, para investigar el dominio y el rango de las siguientes funciones.

$g(x)=\sqrt{x-2}+1\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em},\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}g(x)=-\sqrt{x+1}-2$
Para practicar más sobre el dominio y el rango de funciones radicales utilizando su gráfica haga click en el siguiente enlace

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La siguiente gráfica muestra una función racional, encontremos su dominio y su rango. Para encontrar el dominio de esta función observamos el eje de x y nos preguntamos, para que valores de $x$ hay un valor $f(x)$ correspondiente? En este caso para todo $x$ diferente de $1$ existe un $f(x)$, por lo tanto,

Dominio de f ${\displaystyle =\{x}$ de manera que x es diferente de ${\displaystyle 1\}}$

Del mismo modo, para encontrar el rango de esta función observamos el eje de y y nos preguntamos, para que valores de $y$ la función está definida? Al igual que en el dominio excluimos un valor, para todo $y$ diferente de $2$ la función está definida , por lo tanto,

Rango de f ${\displaystyle =\{y}$ de manera que y es diferente de ${\displaystyle -2\}}$

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Haciendo uso de la aplicación anterior, investiga el dominio y el rango de las siguientes funciones.

$$g(x)=\frac{1}{x}+1\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em},\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}h(x)=\frac{-2}{x+4}+3$$
Para practicar más sobre el dominio y el rango de funciones radicales utilizando su gráfica haga click en el siguiente enlace

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Dominio y Rango Analíticamente

Para encontrar el dominio y el rango de una función si tenemos su fórmula debemos recordar sus definiciones. En palabras sencillas, el dominio es el conjunto de todos los valores que se pueden entrar en la función y el rango es el conjunto de todos los valores que pueden salir la misma. Para clarificar los conceptos consideremos los siguientes ejemplos.

1. $f(x)=x$
   1. (Dominio) ¿Qué valores se pueden entrar a $f$?
      
      
      En este caso podemos entrar cualquier valor a $f$, asi que concluimos que

      Dominio de f ${\displaystyle =\{x}$ de manera que x es un numero real ${\displaystyle \}}$

      De hecho el dominio de cualquier polinomio es todo número real.
      
      
   2. (Rango) ¿Qué valores pueden salir de $f$?
      
      
      En este caso cualquier número real, $y$ puede salir de $f$ si $x=y$, asi que concluimos que
      

      Rango de f ${\displaystyle =\{y}$ de manera que y es cualquier numero real ${\displaystyle \}}$

      
      
2. $g(z)=\sqrt{z-1}+2$
   1. (Dominio) ¿Qué valores se pueden entrar a $g$?
      
      
      En este no podemos entrar cualquier valor a $g$ debido a que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida en el conjunto de los números reales. Asi que investigamos para que valores de $z$ el radicando es no negativo. Para esto hacemos lo siguiente:
      

      ${\displaystyle z-1\ge 0\Rightarrow z\ge 1}$

      con esta información concluimos que

      Dominio de g ${\displaystyle =\{z}$ de manera que ${\displaystyle z\ge 1\}}$
   2. (Rango) ¿Qué valores pueden salir de $g$?
      
      
      En este caso no todo valor real, $y$, puede salir de $g$. Para el dominio encontrado $\sqrt{z-1}$ es siempre mayor que o igual a cero, por lo tanto, $g(z)=\sqrt{z-1}+2$ es siempre mayor que o igual a dos. Con esta información concluimos que

      Rango de g ${\displaystyle =\{z}$ de manera que ${\displaystyle z\ge 2\}}$

      
      
3. $h(x)=\frac{1}{u-3}$
   1. (Dominio) ¿Qué valores se pueden entrar a $h$?
      
      
      En este caso no podemos entrar cualquier valor a $h$ debido a que la división entre cero no está definida. Asi que investigamos para que valores de $u$ el denominador de ésta expresión racional es cero. Para esto hacemos lo siguiente:
      
      

      ${\displaystyle u-3=0\Rightarrow u=3}$

      Encontrados estos valores los excluimos del dominio, en este caso tan solo excluimos $u=3$. Con esta información concluimos que

      Dominio de h ${\displaystyle =\{u}$ de manera que u es diferente de ${\displaystyle 3\}}$

      
      
   2. (Rango) ¿Qué valores pueden salir de $h$?
      
      
      Al igual que en el caso anterior $h$ no puede tomar cualquier valor. No existe un valor $u$ en el dominio para el cual $h(u)=0$. Cualquier otro valor, $y$, puede salir de $h$ con $u=\frac{1}{y}+3$. Con esta información concluimos que

      Rango de h ${\displaystyle =\{u}$ de manera que u es diferente de ${\displaystyle 0\}}$

      
      

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Dominio y Rango Combinando Estrategias

En ocasiones resulta útil combinar estrategias para encontrar el dominio y el rango de una función. Podemos calcular el dominio analíticamente y el rango gráficamente. Los siguientes ejemplos ilustran como combinar estas estrategias.

1. $f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-3}$
   
   1. (Dominio) ¿Qué valores se pueden entrar a $f$?
      
      
      Para encontrar el dominio lo hacemos analíticamente. En este caso la función $f$ es el producto de dos funciones que podemos llamar $$g(x)=\frac{1}{x-3}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em},\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}h(x)=\sqrt{x-1}$$ Para encontrar el dominio de $f$ debemos calcular los dominios de $g$ y $h$ e interceptarlos. De ejemplos anteriores sabemos lo siguiente:
      

      Dominio de h ${\displaystyle =\{x}$ de manera que ${\displaystyle x\ge 1\}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em},\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}$ Dominio de g${\displaystyle =\{x}$ de manera que x es diferente de ${\displaystyle 3\}}$

      
      ahora el dominio de $f$ viene dado de la siguiente manera
      

      Dominio de f ${\displaystyle =\{x}$ de manera que ${\displaystyle x\ge 1,}$ y además x es distinto de ${\displaystyle 3\}}$

      
      
   2. (Rango) ¿Qué valores pueden salir de $f$?
      
      
      Para encontrar el rango lo hacemos gráficamente. La siguiente gráfica ilustra la función $f$.

Observando el eje de y, podemos ver que para cualquier valor del mismo la función está definida, por lo tanto,

Rango de f ${\displaystyle =\{y}$ de manera que y es cualquier numero real ${\displaystyle \}}$

Para practicar más sobre el dominio y el rango de funciones radicales utilizando su gráfica haga click en el siguiente enlace

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