Graficar y Modelar Funciones Cuadráticas

Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

Analizar gráficas de funciones cuadráticas.
Escribir funciones cuadráticas en forma estándar y usar los resultados para graficar la función.
Encontrar valores máximos y míinimos de funciones cuadráticas y usarlos en aplicaciones de la vida real.

Las funciones cuadráticas pueden ser usadas para modelar datos y ser analizados en una gran variedad de aplicaciones de la vida real. En esta lección vamos a estudiar las gráficas de las funciones cuadráticas y cómo utilizarlas para modelar diversos problemas.

En la siguiente aplicación, dejar la velocidad inicial y el ángulo incial en 60 y oprimir el botón lanzar. La trayectoria del proyectil es una parábola y el proyectil está en la tierra (y = 0) cuando x = 0 (al comienzo) y x = 318.13 (al final). (Si no ves la aplicación, por favor descarga flashplayer aquí).

Aplicación Cortesia de www.educaplus.org

Ahora, prueba cambiar los valores del ángulo y la velocidad y vuelve a presionar el botón lanzar. Al trazar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal x la altura y alcanzada por el proyectil. Veremos que esta representación gráfica corresponde a una función cuadrática

Forma estándar de una Función cuadrática.

La forma estándar de una función cuadrática es:

$f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$

en la función anterior h y k juegan un papel importante. El par ordenado

(h, k)

indica el punto máximo o mínimo de la función, dependiendo cual sea el caso. Explícitamente, los valores de h y k pueden ser calculados de la siguiente manera:

(h, k) = (- \frac{b}{2 a}, f (- \frac{b}{2 a}))

Convertir una función expresada en forma general a su forma estándar

Cualquier función cuadrática $f (x) = a x^{2} + b x + c$ puede ser expresada en forma estándar:

$f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$

La forma de lograr esto es usando el método de completar al cuadrado. Este método está cubierto en la lección de factorización. Presta atención en especial a los casos en que a es distinto de 1.

Ejemplo 1:

Escribir la función $f (x) = 2 x^{2} + 8 x + 7$ en forma estándar.

Solución:

Paso 1: Factorizar el coeficiente de $x^{2}$ . $\begin{matrix} f (x) = 2 x^{2} + 8 x + 7 \\ f (x) = 2 (x^{2} + 4 x) + 7 \end{matrix}$
Paso 2: Para que la expresión dentro del paréntesis sea una cuadrado perfecto, agregamos: ${(\frac{4}{2})}^{2} = 4$ . Luego, también debemos restar el mismo valor para no alterar la expresión. $\begin{matrix} f (x) = 2 (x^{2} + 4 x) + 7 \\ f (x) = 2 (x^{2} + 4 x + 4 - 4) + 7 \end{matrix}$
Paso 3: Reagrupar los términos: $\begin{matrix} f (x) = 2 (x^{2} + 4 x + 4) + 2 (- 4) + 7 \end{matrix}$
Paso 4: Reescribir la expresión en paréntesis que ya es un cuadrado perfecto y simplificar. $\begin{matrix} f (x) = 2 {(x + 2)}^{2} - 8 + 7 \\ f (x) = 2 {(x + 2)}^{2} - 1 \end{matrix}$

Ejemplo 2:

Escribir la función $f (x) = - x^{2} + 2 x + 5$ en forma estándar.

Solución:

Paso 1: Factorizar el coeficiente de $x^{2}$ . $\begin{matrix} f (x) = - x^{2} + 2 x + 5 \\ f (x) = - (x^{2} - 2 x) + 5 \end{matrix}$
Paso 2: Para que la expresión dentro del paréntesis sea una cuadrado perfecto, agregamos: ${(\frac{2}{2})}^{2} = 1$ . Luego, también debemos restar el mismo valor para no alterar la expresión. $\begin{matrix} f (x) = - (x^{2} - 2 x) + 5 \\ f (x) = - (x^{2} - 2 x + 1 - 1) + 5 \end{matrix}$
Paso 3: Reagrupar los términos: $\begin{matrix} f (x) = - (x^{2} - 2 x + 1) - (- 1) + 5 \end{matrix}$
Paso 4: Reescribir la expresión en paréntesis que ya es un cuadrado perfecto y simplificar. $\begin{matrix} f (x) = - {(x + 1)}^{2} + 1 + 5 \\ f (x) = - {(x + 1)}^{2} + 6 \end{matrix}$

Haga clic en el siguiente enlace para practicar la forma estándar de una función cuadrática:

Gráfica de funciones cuadráticas.

Gráfica de $f (x) = x^{2}$ .

La gráfica de la función: $f (x) = x^{2}$ es la siguiente:

x	$f (x) = x^{2}$
-4	16
-3	9
-2	4
-1	1
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16

x al cuadrado

La gráfica de una función cuadrática recibe el nombre de parábola. Estas siempre tienen un valor extremo llamado vértice de la parábola. Este valor es muy importante en aplicaciones prácticas cuando queremos hallar el valor máximo o mínimo de una función cuadrática como veremos más adelante, cuando desarrollemos los problemas de aplicacion.

Gráfica de $f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$

La forma estándar es muy conveniente para dibujar la parábola aplicando transformaciones a la gráfica de $f (x) = x^{2}$ .

El valor |a| produce un estiramiento o encogimiento vertical
Si a<0, la gráfica se refleja en el eje x.
El valor h representa un desplazamiento horizontal de h unidades.
El valor k representa un desplazamiento vertical de k unidades.

La transformación de funciones se explica en detalle en el tutorial de Transformación de Funciones.

Ejemplo 1:

Grafica la función $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2} - 5$

Solución:

$x^{2} \Rightarrow 2 \times x^{2}$	Gráfica de $f (x) = x^{2}$	Agregamos el factor 2 para obtener $f (x) = 2 x^{2}$
$2 x^{2} \Rightarrow 2 {(x - 1)}^{2}$	Gráfica de $f (x) = 2 x^{2}$	Restamos 1 a la entrada y obtenemos $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$
$2 {(x - 1)}^{2} \Rightarrow 2 {(x - 1)}^{2} - 5$	Gráfica de $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$	Restando 5 a la salida, tenemos $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2} - 5$
$2 {(x - 1)}^{2} - 5$	Gráfica de $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2} - 5$
$x^{2} \Rightarrow \frac{1}{2} \times x^{2}$
$\frac{1}{2} x^{2} \Rightarrow - \frac{1}{2} x^{2}$
$- \frac{1}{2} x^{2} \Rightarrow - \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2}$
$- \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} \Rightarrow - \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} + 8$
$- \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} + 8$


Haz Click en los botones para ver las Transformaciones

Ejemplo 2:

Grafica la función $f (x) = - \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} + 8$

Solución:


Haz Click en los botones para ver las Transformaciones

Valores Máximos y Mínimos

Observando las gráficas en los ejemplos anteriores vemos que el valor extremo de la función ocurre justo en el vértice, el cual es muy fácil distinguir cuando tenemos la función escrita en forma estándar.

Dada una función cuadrática f en forma estándar:

$f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$

El valor máximo o mínimo de f ocurre en x=h

Si a>0, el valor mínimo es f(h)=k.
Si a<0, el valor máximo es f(h)=k.

Ejemplo:

Dada la siguiente función $f (x) = 5 x^{2} - 30 x + 49$

Expresa f en forma estandar.

Haz un bosquejo de la gráfica.

Cual es el valor mínimo de f?

Solución:

Expresamos f en forma estandar.

$\begin{matrix} f (x) = 5 x^{2} - 30 x + 49 \\ f (x) = 5 (x^{2} - 6 x) + 49 \\ f (x) = 5 (x^{2} - 6 x + 9 - 9) + 49 \\ f (x) = 5 (x^{2} - 6 x + 9) + 5 (- 9) + 49 \\ f (x) = 5 {(x - 3)}^{2} - 45 + 49 \\ f (x) = 5 {(x - 3)}^{2} + 4 \end{matrix}$

La fórmula indica que la parábola tiene un valor mínimo, pues a=5 es positivo. Como vemos en la gráfica el vértice de la parábola es (3,4) y se abre hacia arriba.

El valor mínimo es f(3)=4.

Modelar

En la siguiente aplicación, vamos a modelar la trayectoria de la bala del cañón. Esta trayectoria tiene la forma de una parábola. Al lado derecho vemos la función cuadrática escrita en su forma estándar. Al lado izquierdo vemos tres segmentos de recta que representan los valores que pueden tomar los parámetros a, h y k correspondientes a esta función. Al mover los puntos correspondientes cambian los valores de estos parámetros y por lo tanto la gráfica.

Prueba mover los puntos y observa los cambios que producen en la gráfica y en la ecuación.

El objetivo de este ejercicio es mover los puntos para cambiar los parámetros a, h y k de forma tal que la parábola obtenida coincida con la trayectoria de la bala, mostrada en lineas punteadas.

Una vez que hayas logrado esto, podras observar en el lado derecho la ecuación que le corresponde a la trayectoria de la bala.

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Problemas de Aplicación

Ejemplo 1:

Se lanza una pelota en un campo de juego. Su trayectoria está dada por la función:

$f (x) = - \frac{1}{12} x^{2} + 2 x + 4$

Cuál es la altura máxima que alcanza la bola?
A qué distancia horizontal del punto de lanzamiento alcanzó la altura máxima?.
Cual es el valor máximo de f?

Solución:

Expresamos f en forma estandar.

$\begin{matrix} f (x) = - \frac{1}{12} x^{2} + 2 x + 4 \\ f (x) = - \frac{1}{12} (x^{2} - 24 x) + 4 \\ f (x) = - \frac{1}{12} (x^{2} - 24 x + 144 - 144) + 4 \\ f (x) = - \frac{1}{12} (x^{2} - 24 x + 144) - \frac{1}{12} (- 144) + 4 \\ f (x) = - \frac{1}{12} {(x - 12)}^{2} + 12 + 4 \\ f (x) = - \frac{1}{12} {(x - 12)}^{2} + 16 \end{matrix}$

Como la función representa la altura que viaja la pelota, su altura máxima es k=16.

La altura máxima es alcanzada cuando x =h=12.

También es facil encontrar estos valores observando la gráfica.

Ejemplo 2:

Encontrar dos número reales positivos a y b cuyo producto es el máximo, y que además cumplan que a + 2b = 24

Solución:

Queremos modelar una función p que exprese el producto de a y b.

p = a × b

Tenemos dos variables. Podemos utilizar la segunda condición para escribir la variable a en términos de b.

a + 2b = 24 de donde a = 24-2b

Reescribimos nuestra función en términos de b.

$p (b) = (24 - 2 b) \times b = - 2 b^{2} + 24 b$

Expresamos p en forma estandar.

$\begin{matrix} p (b) = - 2 b^{2} + 24 b \\ p (b) = - 2 (b^{2} - 12 b) \\ p (b) = - 2 (b^{2} - 12 b + 36 - 36) \\ p (b) = - 2 (b^{2} - 12 b + 36) - 2 (- 36) \\ p (b) = - 2 {(b - 6)}^{2} + 72 \\ p (b) = - 2 {(b - 6)}^{2} + 72 \end{matrix}$

Observando la forma estandar de la función vemos que el valor máximo se alcanza cuando b = 6.

Ahora podemos calcular el valor de la segunda variable utilzando la expresión a = 24-2b de donde a=12.

Haga clic en el siguiente enlace para practicar problemas de aplicación

Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

Analizar gráficas de funciones cuadráticas.
Escribir funciones cuadráticas en forma estándar y usar los resultados para graficar la función.
Encontrar valores máximos y mínimos de funciones cuadráticas y usarlos en aplicaciones de la vida real.

Graficar y Modelar Funciones Cuadráticas

Aplicación Cortesia de www.educaplus.org

Convertir una función expresada en forma general a su forma estándar

Gráfica de f x = x 2 .

Gráfica de $f (x) = x^{2}$ .