Composición de Funciones

Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

• Expresar la composición de funciones $(f\circ g)\left(x\right)$ y $(g\circ f)\left(x\right)$ en forma de máquina y viceversa.
• Con f y g en cualquier representacion, conseguir la salida y la entrada asociada con $f\circ g$ y $g\circ f$.

Introducción

Considerar las dos maquinas:

y

Qué pasa si queremos:

Necesitamos aplicar dos funciones secuencialmente

Asi h consiste en aplicar dos funciones uno tras otra. Esta sección se dedica a explorar esta aplicación.

Definición

El efecto de aplicar dos funciones una tras otra se define como una composición de funciones y se escribe como: Se puede escribir como $(f\circ g)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$   Se puede escribir como $(g\circ f)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$

Conseguir composiciones de funciones

Ejemplo

Considere las siguientes funciones:

h= $x^2-8$

Hallar.

1. $(f\circ g)\left(2\right)$

   $(f\circ g)\left(2\right)=f\left(g\left(2\right)\right)$

   En notación de máquina, tenemos:

   x f(x) -4 7 -3 -2 -2 2 -1 0 0 -1 1 9 2 3 3 -5 4 1

   $(f\circ g)\left(2\right)=f\left(g\left(2\right)\right)=-1$

   
   

2. $(g\circ f)\left(2\right)$

   $(g\circ f)\left(2\right)=g\left(f\left(2\right)\right)$

   En notación de máquina, tenemos:

   x f(x) -4 7 -3 -2 -2 2 -1 0 0 -1 1 9 2 3 3 -5 4 1

   $(g\circ f)\left(2\right)=g\left(f\left(2\right)\right)=5$

   
   

3. $(f\circ h)\left(3\right)$

   $(f\circ h)\left(3\right)=f\left(h\left(3\right)\right)$

   En notación de máquina, tenemos:

   $\begin{array}{c}h\left(3\right)={\left(3\right)}^2-8\\ =9-8\\ =1\end{array}$

   x f(x) -4 7 -3 -2 -2 2 -1 0 0 -1 1 9 2 3 3 -5 4 1

   $(f\circ h)\left(3\right)=f\left(h\left(3\right)\right)=9$

   
   

4. $(h\circ f)\left(3\right)$

   $(h\circ f)\left(3\right)=h\left(f\left(3\right)\right)$

   En notación de máquina, tenemos:

   x f(x) -4 7 -3 -2 -2 2 -1 0 0 -1 1 9 2 3 3 -5 4 1

   $\begin{array}{c}h\left(-5\right)={\left(-5\right)}^2-8\\ =25-8\\ =17\end{array}$

   $(h\circ f)\left(3\right)=h\left(f\left(3\right)\right)=17$

   
   

5. $(g\circ h)\left(3\right)$

   $(g\circ h)\left(3\right)=g\left(h\left(3\right)\right)$

   En notación de máquina, tenemos:

   $\begin{array}{c}h\left(3\right)={\left(3\right)}^2-8\\ =9-8\\ =1\end{array}$

   $(g\circ h)\left(3\right)=g\left(h\left(3\right)\right)=-3$

   
   

6. $(h\circ g)\left(3\right)$

   $(h\circ g)\left(3\right)=h\left(g\left(3\right)\right)$

   En notación de máquina, tenemos:

   $\begin{array}{c}h\left(5\right)={\left(5\right)}^2-8\\ =25-8\\ =17\end{array}$

   $(h\circ g)\left(3\right)=h\left(g\left(3\right)\right)=17$

   
   

Composición de funciones representadas por fórmulas

Ejemplo

Considere las siguientes funciones:

$f\left(x\right)=x^2+2$

$g\left(x\right)=2x+1$

Conseguir la formula de: $(f\circ g)\left(x\right)$ y $(g\circ f)\left(x\right)$

Para evitar confusión, pues no siempre el valor de entrada de la funcion es x, escribimos f y g de la siguiente manera:

y

1. $(g\circ f)\left(x\right)$

   $(g\circ f)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$

   En notación de máquina, tenemos:

   

   $(g\circ f)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=2x^2+5$

2. $(f\circ g)\left(x\right)$

   $(f\circ g)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$

   En notación de máquina, tenemos:

   

   $(f\circ g)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)=4x^2+4x+3$

Dominio y Rango

Ejemplo

Considere las siguientes funciones:

$f\left(x\right)=\frac{1}{x}$

$g\left(x\right)=2x+4$

Conseguir el dominio de: $(f\circ g)\left(x\right)$ y $(g\circ f)\left(x\right)$

El dominio de f es $\left\{x|x\ne 0\right\}$

El dominio de g es ℜ

1. $(g\circ f)\left(x\right)$

   $(g\circ f)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$

   

   No tenemos que preocuparnos por el valor de entrada de g pero si tenemos que preocuparnos que no entre 0 en f asi:

   El dominio de $(g\circ f)$ es $\left\{x|x\ne 0\right\}$

2. Dominio de $(f\circ g)\left(x\right)$

   $(f\circ g)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$

   

   No tenemos que preocuparnos por el valor de entrada de g pero si tenemos que preocuparnos que no entre 0 en f asi:

   El dominio de $(f\circ g)$ es $\left\{x|2x+4\ne 0\right\}$ o $\left\{x|x\ne -2\right\}$

Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

• Expresar la composición de funciones $(f\circ g)\left(x\right)$ y $(g\circ f)\left(x\right)$ en forma de máquina y vice versa.
• Con f y g en cualquier representacion, conseguir la salida y la entrada asociada con $f\circ g$ y $g\circ f$ .