Ecuaciones racionales

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  Objetivos:

1. Resolver ecuaciones con expresiones racionales.
2. Determinar si una solución es extraña o no.

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  Introducción

En este tutorial se explicará el proceso para resolver ecuaciones racionales.  Es muy importante que recuerde las propiedades de expresiones racionales y cómo hallar el dominio de ellas.   La forma más sencilla de resolverlas es hallando el mínimo común denominador (MCD) y convertirlas en una igualdad de dos polinomios, los denominadores se eliminan de todos los términos de la ecuación.

Definición Una ecuación es racional si es de la forma $\frac{P(x)}{Q(x)}=0$ donde $P(x)$ y $Q(x)$ son polinomios y $Q(x)\ne 0$.

Nota: Para resolver ecuaciones racionales debe considerar las siguientes propiedades:  

1. $\frac{a}{b}=0\Rightarrow a=0,b\ne 0.$
2. $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \mathrm{ad}=\mathrm{bc},b\ne 0,d\ne 0.$

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  Solución de una ecuación racional

Para resolver una ecuación racional se sugieren los siguientes pasos:

1. Halle el dominio de la expresión racional, aquellos valores que no están en el dominio no pueden ser soluciones.
2. Halle el mínimo común denominador y multiplique ambos lados de la ecuación por el mismo.
3. Resuelva la ecuación polinómica resultante.

Nota: Una solución se dice que es extraña si es una solución de la ecuación obtenida en (3), pero no está en el dominio.

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  Ejemplos

1. Resolver $\frac{3}{x}+2=x$
Paso 1 El dominio de la ecuación es dado por todos los reales excepto 0, es decir: $Dominio=ℝ-\left\{0\right\}$
Paso 2  El MCD es $x$. Multiplicando ambos lados por el mismo se tiene:
$x\left(\frac{3}{x}+2=x\right)\Rightarrow 3+2x=x^2$
Paso 3  Se resuelve la ecuación cuadrática:
$x^2-2x-3=0$, factorizando: $(x-3)(x+1)=0\Rightarrow x=3,x=-1$

Verificación: se sustituyen los valores de $x$ en la ecuación original

$x=3\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}x=-1$
$\frac{3}{3}+2\stackrel{?}{=}3\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\frac{3}{-1}+2\stackrel{?}{=}-1$
$3=3\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}-1=-1$
Si es solución		Si es solución

2. Resolver $\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}=\frac{x}{x^2+x-2}$
Solución
Paso 1 Factorizando el denominador de la expresión de la derecha se tiene:
$\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}=\frac{x}{(x-1)(x+2)}$ y el dominio de la ecuación es: $Dominio=ℝ-\{-2,1\}$
Paso 2  El MCD es $(x-1)(x+2)$. Multiplicando por el mismo se tiene:
$(x-1)(x+2)\left(\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}=\frac{x}{(x-1)(x-2)}\right)\Rightarrow 2(x+2)+3(x-1)=x$
Paso 3  Se resuelve la ecuación lineal:
$2(x+2)+3(x-1)=x$ simplificando
$4x=-1\Rightarrow x=-\frac{1}{4}$

Verificación: se sustituye el valor de $x$ en la ecuación original

$x=-\frac{1}{4}$
$\frac{2}{-\frac{1}{4}-1}+\frac{3}{-\frac{1}{4}+2}\stackrel{?}{=}\frac{-\frac{1}{4}}{{(-\frac{1}{4})}^2+(-\frac{1}{4})-2}$
$\frac{4}{35}=\frac{4}{35}$
Si es solución

3. Resolver $\frac{x}{x^2-9}+\frac{3}{x+3}=1$
Solución
Paso 1 Factorizando el denominador de la expresión de la izquierda se tiene:
$\frac{x}{(x+3)(x-3)}+\frac{3}{x+3}=1$ y el dominio de la ecuación es: $Dominio=ℝ-\{-3,3\}$
Paso 2  El MCD es $(x-3)(x+3)$. Multiplicando la ecuación racional por el mismo se tiene:
$(x-3)(x+3)\left(\frac{x}{(x-3)(x+3)}+\frac{3}{x+3}=1\right)\Rightarrow x+3(x-3)=(x+3)(x-3)$
Paso 3  Se resuelve la ecuación cuadrática:
$x+3(x-3)=(x+3)(x-3)$ simplificando
$4x-9=x^2-9$  simplificando
$x^2-4x=0$  factorizando
$x(x-4)=0\Rightarrow x=0,x=4$

Verificación: se sustituyen los valores de $x$ en la ecuación original

$x=0\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}x=4$
$\frac{0}{0^2-9}+\frac{3}{0+3}\stackrel{?}{=}1\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\frac{4}{4^2-9}+\frac{3}{4+3}\stackrel{?}{=}1$
$1=1\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}1=1$
Si es solución		Si es solución

4. Resolver $\frac{2x-9}{x-7}+\frac{x}{2}=\frac{5}{x-7}$
Solución
Paso 1 El dominio de la ecuación es: $Dominio=ℝ-\left\{7\right\}$
Paso 2  Multiplicando ambos lados por el MCD, $2(x-7)$, se obtiene:
$2(x-7)(\frac{2x-9}{x-7}+\frac{x}{2}=\frac{5}{x-7})\Rightarrow 2(2x-9)+x(x-7)=10$
Paso 3  Se resuelve la ecuación cuadrática:
$2(2x-9)+x(x-7)=10$ simplificando
$4x-18+x^2-7x=10$  simplificando
$x^2-3x-28=0$  factorizando
$(x-7)(x+4)=0\Rightarrow x=7,x=-4$

Verificación: se sustituyen los valores de $x$ en la ecuación original

$x=7\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}x=-4$
$\frac{2\left(7\right)-9}{7-7}+\frac{7}{2}\stackrel{?}{=}\frac{5}{7-7}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\frac{2(-4)-9}{-4-7}+\frac{-4}{2}\stackrel{?}{=}\frac{5}{-4-7}$
Es una solución extraña		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\frac{-5}{11}=\frac{-5}{11}$
		Si es solución

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  Práctica

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