No Title

División sintética

Objetivos:

Dividir un polinomio por un binomio de la forma $x - c$ .
Usar el teorema del residuo en conjunto con la división sintética para determinar un valor funcional de un polinomio.
Usar el teorema del factor en conjunto con la división sintética para encontrar los factores y ceros de un polinomio.

Introducción

La división sintética.se puede utilizar para dividir una función polinómica por un binomio de la forma

x - c

. Esto nos permite, por ejemplo hallar el cociente y el resto que se obtiene al dividir el polinomio por

x - c

. Además, por el teorema del resto al aplicar la división sintética se obtiene el valor funcional del polinomio. También permite encontrar los factores y ceros de un polinomio. Al encontrar los ceros de un polinomio, éste se puede factorizar completamente y expresar como el producto de sus factores lineales. En resumen, la división sintética juega un papel preponderante en la división de un polinomio por un factor lineal de la forma

x - c

. .

División sintética

La división sintética se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio de la forma

x - c

y su aplicación principal es para determinar los ceros de un polinomio

.

Considere un polinomio de grado

n

de la forma:

P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}

Para aplicar la división sintética se sugiere seguir los siguientes pasos y :

Establezca la división sintética, colocando en la primera fila los coeficientes del polinomio (si algún término no aparece, asígnele coeficiente cero) y a la extrema izquierda el valor de $c$ .

coeficientes del dividendo

$c$ $a_{n} a_{n - 1} a_{n - 2} \dots a a_{1} a_{0}$
Baje el coeficiente principal a la tercera fila.

$c$ $a_{n} a_{n - 1} a_{n - 2} \dots a a_{1} a_{0}$

$↓$

$a_{n}$

Multiplique

c

por el coeficiente principal

a_{n}


$c$	$a_{n} a_{n - 1} a_{n - 2} \dots a a_{1} a_{0}$
	$↓$ $↗ {ca}_{n}$
	$a_{n}$

Sume los elementos de la segunda columna.


$c$	$a_{n} a_{n - 1} a_{n - 2} \dots a a_{1} a_{0}$
	$↓$ $↗ {ca}_{n}$
	$a_{n}$ ${ca}_{n} + a_{n - 1}$

Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al término constante

a_{0} .


$c$	$a_{n} a_{n - 1} a_{n - 2} \dots a_{1} a_{0}$
	$↓$ $↗$ ${ca}_{n} ↗ {cb}_{n - 2}$ $\dots ↗ {cb}_{1}$ $↗ {cb}_{0}$
	$b_{n - 1} = a_{n}$ $b_{n - 2} = {ca}_{n} + a_{n - 1} b_{n - 3} = {cb}_{n - 2} + a_{n - 2}$ $\dots$ $b_{0} = {cb}_{1} + a_{1}$ $a_{0} + {cb}_{0}$

Escriba la respuesta, es decir, el cociente y residuo. Como el dividendo es de grado $n$ y el divisor es de grado 1, el cociente es de grado $n - 1$ y sus coeficientes son $b_{n - 1}, b_{n - 1}, \dots, b_{1}, b_{0}$ y el residuo es $a_{0} + {cb}_{0}$ y se obtiene:
el cociente: $q (x) = b_{n - 1} x^{n - 1} + b_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + b_{1} x + b_{0}$
el residuo: $r = a_{0} + {cb}_{0}$

Nota: Si

r = 0,

entonces

c

es un cero del polinomio, es decir,

P (c) = 0,

x - c

es un factor del polinomio.

Ejemplos

1. Dividir

8 x^{5} + 3 x^{4} - 2 x^{3} + 4 x - 6

por

x + 1

Solución

Paso 1 Establezca la división sintética colocando los coeficiente del dividendo y el valor de

c = - 1 .

$- 1$	$8$	$3$	$- 2$	$0$	$4$	$- 6$

Paso 2 Baje el coeficiente principal a la tercera fila.

$- 1$	$8$	$3$	$- 2$	$0$	$4$	$- 6$
	$↓$
	$8$

Paso 3 Multiplique

- 1

por el coeficiente principal

8 .

$- 1$	$8$		$3$	$- 2$	$0$	$4$	$- 6$
	$↓$	$↗$	$- 8$
	$8$

Paso 4 Sume los elementos de la segunda columna.

$- 1$	$8$		$3$	$- 2$	$0$	$4$	$- 6$
	$↓$	$↗$	$- 8$
	$8$		$- 5$

Paso 5 Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al término constante

- 6 .

$- 1$	$8$		$3$		$- 2$		$0$		$4$		$- 6$
	$↓$	$↗$	$- 8$	$↗$	$5$	$↗$	$- 3$	$↗$	$3$	$↗$	$- 7$
	$8$		$- 5$		$3$		$- 3$		$7$		$- 13$

Paso 6 Escriba el cociente y resto

Cociente:

q (x) = 8 x^{4} - 5 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 7

Residuo:

r = - 13

Por el algoritmo de la división se tiene:

P (x) = 8 x^{5} + 3 x^{4} - 2 x^{3} + 4 x - 6 = (8 x^{4} - 5 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 7) (x + 1) - 13

2. Dividir

2 x^{5} - 9 x^{4} + 11 x^{3} - 6 x^{2} - 6 x + 18

por

x - 3

Solución

Paso 1 Establezca la división sintética colocando los coeficiente del dividendo y el valor de

c = 3 .

$3$	$2$	$- 9$	$11$	$- 6$	$- 6$	$18$

Paso 2 Baje el coeficiente principal a la tercera fila.

$3$	$2$	$- 9$	$11$	$- 6$	$- 6$	$18$
	$↓$
	$2$

Paso 3 Multiplique

3

por el coeficiente principal

2 .

$3$	$2$		$- 9$	$11$	$- 6$	$- 6$	$18$
	$↓$	$↗$	$6$
	$2$

Paso 4 Sume los elementos de la segunda columna.

$3$	$2$		$- 9$	$11$	$- 6$	$- 6$	$18$
	$↓$	$↗$	$6$
	$2$		$- 3$

Paso 5 Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al término constante

18 .

$3$	$2$		$- 9$		$11$		$- 6$		$- 6$		$18$
	$↓$	$↗$	$6$	$↗$	$- 9$	$↗$	$6$	$↗$	$0$	$↗$	$- 18$
	$2$		$- 3$		$2$		$0$		$- 6$		$0$

Paso 6 Escriba el cociente y resto

Cociente:

q (x) = 2 x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - 6

Residuo:

r = 0

Por el algoritmo de la división se tiene:

P (x) = 2 x^{5} - 9 x^{4} + 11 x^{3} - 6 x^{2} - 6 x + 18 = (2 x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - 6) (x - 3)

En este caso como el residuo es 0, entonces

c = 3

es un cero del polinomio y

x - 3

es un factor.

Práctica

Presione el boton para practicar ejercicios con división sintética

File translated from T_EX by T_TM, version 4.00.

	coeficientes del dividendo
$c$	$a_{n} a_{n - 1} a_{n - 2} \dots a a_{1} a_{0}$