Variación Directa
Al final de esta lección, debes ser capaz de:
- Reconocer una relación de variación directa
- Encontrar la fórmula de una relación de variación directa
- Resolver problemas verbales asociados con variaciones directas
| x = Horas Trabajadas |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
| y = Dólares Ganados |
0 |
3 |
6 |
9 |
12 |
La tabla anterior muestra la relación entre las horas trabajadas y el dinero en dólares, que obtuvo Juan trabajando a razón de $3.00 por hora.
En esta tabla, podemos ver que el dinero ganado es igual al producto de las horas trabajadas por 3. Otra manera de decir eso es que la constante de variación o proporción es igual o 3. También se puede observar que cada vez que x aumenta en un 1, la variable y aumenta en 3. Otra manera de decir eso es que la razón de cambio es igual a 3.
En la aplicación de abajo, mueve el botón de la barra “constante de variación” a 3. Observa que los puntos de la gráfica coinciden con los valores en la tabla, y que con cada aumento de 1 en x, la variable y aumenta 3 y que la relación entre las variables es
.
| Cajas de Leche |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
| Botellas de Leche |
0 |
4 |
8 |
12 |
16 |
Si cada caja de leche contiene 4 botellas, la tabla anterior muestra la relación entre el
número de cajas de leche y el número de botellas que contienen.
En esta tabla, podemos ver que el número de botellas de leche se obtiene multiplicando el número de cajas de leche por 4.
En la aplicación de arriba, mueve el botón de la barra constante de variación a 4. Observa que los puntos de la gráfica coinciden con los valores en la tabla, y que con cada aumento de 1 en x, y aumenta 4 y que la relación entre las variables es y = 4 × x.
.
| Cantidad de dólares |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
| Cantidad de galletas que se puede comprar |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
Si una galleta cuesta 50 centavos, la tabla anterior muestra la relación entre la cantidad de dólares y la cantidad de galletas que se puede comprar.
En esta tabla, podemos ver que la cantidad de galletas se obtiene multiplicando la cantidad de dólares por 2.
En la aplicación de arriba, mueve el botón de la barra constante de variación a 2. Observa que los puntos de la gráfica coinciden con los valores en la tabla, y que con cada aumento de 1 en x, la variable y aumenta en 2 y que la relación entre las variables es y = 2 × x .
En todas estas relaciones de los ejemplos anteriores, una variable es igual a otra variable multiplicada por una constante distinta de cero. Estas relaciones se conocen como proporciones directas o variaciones directas.
Dadas dos variables x y y, los enunciados:
y varía directamente como x,
y es directamente proporcional a x y
todos significan que y = kx, para algún número real fijo k.
Al número k se le llama la constante de variación o constante de proporcionalidad. El valor de k también representa la razón de cambio de la relación. Es decir, cada aumento de 1 en x va a corresponder a un aumento de k en y.
Las relaciones de variación directa tienen la forma y = kx donde x y y son variables y k es una constante distinta de cero. La fórmula para una relación de variación directa
se puede hallar mediante los siguientes pasos:
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Paso 1:
Traducir el enunciado a una fórmula de variación directa.
y
es directamente proporcional a
x significa
y
=k·x
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Paso 2:
Sustituir las variables conocidas para encontrar k. |
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Paso 3:
Sustituir k y escribir la fórmula.
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Ejemplos
Ejemplo 1
u es proporcional a
v. Si u = 16 cuando v = 4, escribe la fórmula para la relación entre u y v.
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Paso 1:
Traducir el enunciado a una fórmula de variación directa.
u
es proporcional a
v significa
u =k·v
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Paso 2:
Sustituir valores conocidos para encontrar k.
16 = k·
4
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Paso 3:
Sustituir k y escribir la fórmula.
u
=4v
|
Conclusión:
la fórmula para expresar la relación entre u y v
es
u
=4v
Ejemplo 2
p
varía directamente como z. Si p = 210 cuando z
= 200, escribe la fórmula para expresar la relación entre
p
y
z
.
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Paso 1:
Traducir el enunciado a una fórmula de variación directa.
p
varía directamente como
z
significa
p = k·z
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Paso 2:
Sustituir valores conocidos para encontrar k.
210 = k·
200
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Paso 3:
Sustituir k y escribir la fórmula.
p =1.05z
|
Conclusión:
la fórmula que expresa la relación entre
p
y
z
es
p = 1.05z
Los problemas simples de variación directa consisten en encontrar una fórmula y verificar lo que sucede con una cantidad cuando cambia otra
cantidad del problema.
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Paso 1:
Encontrar la fórmula. |
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Paso 2:
Identificar variables conocidas y sustituir los valores en la fórmula. |
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Paso 3: Resolver para la variable desconocida. |
Ejemplos
Ejemplo 1
w es directamente proporcional a
m. Si w = 42 cuando m = 6, encontrar el valor de m cuando w = 140
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Paso 1:
Encontrar la fórmula.
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1:
Traducir el enunciado a una fórmula de variación directa.
w
es directamente proporcional a
m significa
w
= k·m
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2:
Sustituir valores conocidos para encontrar
k.
42 = k·
6
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3:
Sustituir k y escribir la
fórmula.
w = 7m
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Paso 2:
Identificar variables conocidas y sustituir los valores en la fórmula.
140 = 7·m
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Paso 3:
Resolver para la variable desconocida.
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Conclusión: m =
20 cuando w = 140
Ejemplo 2
A varía directamente como
b. Si A = 3 cuando b = 8, encontrar el valor de A
cuando b = 1000
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Paso 1:
Encontrar la fórmula.
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1:
Traducir el enunciado a una fórmula de variación directa.
A
varía directamente como
b significa
A
= k·b
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2:
Sustituir valores conocidos para encontrar
k.
3 = k·
8
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3:
Sustituir k y escribir la
fórmula.
A =
0.375b
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Paso 2:
Identificar variables conocidas y sustituir los valores en la fórmula.
A =
0.375·1000
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Paso 3:
Resolver para la variable desconocida
A = 375
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Conclusión:
A = 375 cuando b = 1000
Los problemas verbales de variación directa son problemas donde las cantidades involucradas tienen nombres,
sin embargo la forma de resolverlos no es diferente a la forma descrita en la sección anterior. Los pasos para resolverlos son los mismos
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Paso 1:
Encontrar la fórmula. |
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Paso 2:
Identificar variables conocidas y sustituir los valores en la fórmula. |
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Paso 3: Resolver para la variable desconocida |
Ejemplos
Ejemplo 1
El importe del impuesto sobre ventas de un auto nuevo es directamente proporcional al precio de venta del auto, si un
auto de $25000 paga $1750 de impuesto sobre ventas. ¿Cuál es el precio de venta de un coche nuevo
que tiene un impuesto sobre ventas de $3500?
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Paso 1:
Encontrar la fórmula
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1:
Traducir el enunciado a una fórmula de variación directa.
El importe del impuesto sobre ventas de un auto nuevo es directamente proporcional al
precio de venta
del auto
significa
impuesto sobre ventas
= k·
precio de venta
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2:
Sustituir valores conocidos para encontrar k.
1750 = k
25000
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3:
Sustituir k y escribir la fórmula.
impuesto sobre ventas =
0.07· precio de venta
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Paso 2:
Identificar variables conocidas y sustituir los valores en la fórmula.
3500
=
0.07· precio de venta
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Paso 3:
Resolver para la variable desconocida
precio de venta
= 50000
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Conclusión:
Un auto nuevo que paga $3,500 en impuesto sobre ventas tienen un precio de venta de $50,000
Ejemplo 2
El costo de una casa en Florida es proporcional al tamaño de la casa. Una casa de 2850 pies cuadrados
cuesta $182400, entonces cual es el costo de una casa de 3640 pies cuadrados?
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Paso 1:
Encontrar la fórmula
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1:
Traducir el enunciado a una fórmula de variación directa.
El costo de una casa en Florida es proporcional al tamaño de la casa
significa
costo =k·
tamaño
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2:
Sustituir valores conocidos para encontrar k.
182400 = k
2850
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3:
Sustituir k y escribir la fórmula.
costo
= 64 tamaño
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Paso 2:
Identificar variables conocidas y sustituir los valores en la fórmula.
costo
=
64·
3640
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Paso 3:
Resolver para la variable desconocida
costo
= 232960
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Conclusión:
El costo de una casa de 3640 pies cuadrados en Florida es $232,960
Ya que has terminado esta lección, debes ser capaz de:
- Reconocer una relación de variación directa
- Encontrar la fórmula de una relación de variación directa
- Resolver problemas verbales asociados con variaciones directas
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