Funciones Inversas

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  Objetivos:

1. Identificarás gráficamente cuando dos funciones son inversas.
2. Construirás la gráfica de la inversa de una función invertible.
 
3. Encontrarás la fórmula de la inversa de algunas funciones.

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Introducción

Sea $f$ una función. Si existe $g$ con todas las siguientes propiedades

1. Dominio $\left(g\right)$ =Recorrido $\left(f\right)$
2. Dominio $\left(f\right)$ =Recorrido $\left(g\right)$
3. $(f\circ g)\left(x\right)$ = $x$, para toda $x$ en el Dominio$\left(g\right)$
4. $(g\circ f)\left(x\right)$ = $x$, para toda $x$ en el Recorrido$\left(g\right)$

 

Decimos que $f$ es invertible. En tal caso denotamos la inversa de $f$ como $f^{-1}$ y defininimos $f^{-1}$ = $g$.

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Actividad

Si $f$ es invertible. $y=f\left(x\right)$ quiere decir que $x=f^{-1}\left(y\right)$ En otras palabras si $(x,y)$ es un punto en la gráfica de $f$ entonces $(y,x)$ es un punto en la grafica de $f^{-1}$ Las gráficas de $f$ y $f^{-1}$ son simétricas con respecto a la recta $y=x$

 

En la siguiente aplicación se ilustran las gráficas de dos funciones. Determina si ambas funciones son funciones inversas una de otra.

 

Ejercicio.

Llena los espacios en blanco.

Reflejar la gráfica de $y=f\left(x\right)$ con respecto a la recata $y=x$ produce una relasion que deshace lo que $f$ hace. Como esta relación no necesariamente corresponde a una función, en algunos casos será necesario restringir el dominio de $f$.

Explora y estudia la aplicación siguiente, en la que se construyen gráficamente las funciones inversas asociadas a una duncion lineal y una funcion cuadratica.

 

Cuando estes listo, contesta las siguientes preguntas:

1. ¿ Acaso la función $f\left(x\right)=2x+3$ es invertible? En el caso que esta función tenga inversa encuentra una formula para $f^{-1}\left(x\right)$
2. ¿Que podemos decir de la gráfica que se obtiene al reflejar la parabola $y=0.25x^2$ con respecto a la recta $y=x$ . ¿ $f\left(x\right)=0.25x^2$ es invertible? ¿Por que?
3. Encuentra la función inversa de $f\left(x\right)=\sqrt{4x}$ ?

En esta actividad construiras gráficamente la función inversa de $f\left(x\right)=x^3$ . En la siguiente aplicación:

 

1. Escribe en el rectángulo color verde que está al pie de la página la formula $f\left(x\right)=x^3$ .
2. Pulsa el recuadro para para dibujar los datos. Al así hacerlo, la aplicación trazará la grafica de $f$ .
3. Con el cursor, atrapa y mueve el punto rojo que está sobre el eje de $x$ . ¿ Que relación existe entre $f$ y la gráfica verde que aparece en la pantalla mientras mueves el cursor? Esta aplicación contiene una animación que puede ayudarte a contestar esta pregunta.
4. Para ver la animación puedes repetir tantas veces como desees el siguiente proceso:
   1. Ir a la primera ventanta de la animación, usando el boton $<<$ en la parte inferior de la ventanta de gráficas.
   2. Pulsar PLAY para correr la animación.
5. Determina una fórmula para describir los puntos sobre la gráfica verde.

Sigue los pasos de la actividad 3.para construir la gráfica y encontra una fórmula para   la función inversa de cada  función.

• $f\left(x\right)=\genfrac{}{}{0.1ex}{}{1}{x}$
• $f\left(x\right)=\genfrac{}{}{0.1ex}{}{1}{x-2}+1$