Camino hacia el Logaritmo

Camino hacia el Logaritmo Natural

Objetivos:

Definir el numero real $e$ .
Enumerar las características de la gráfica de $f (x) = e^{x}$ .
Definir la función $f (x) = \ln (x)$
Enumerar las características de la gráfica de $f (x) = \ln (x)$
Escribir expresiones logarítmicas en su forma exponencial y expresiones exponenciales en su forma logarítmica.

Introducción

Considera la función cuyo dominio son los enteros positivos definida por $f (x) = {(x + \frac{1}{x})}^{x}$ .

Observa que si dejamos que $x$ asuma valores tan grandes como querramos, los valores de esta función parecen acercarse a un número real entre 2 y 3. .

Para nuestros propósitos, basta con decir que este número es tan importante que se le asigna una notación especial. Definimos el número real $e$ como el número al que se acerca $f (x) = {(x + \frac{1}{x})}^{x}$ cuando tomamos $x$ arbitrariamente grande.

La siguiente tabla de valores nos puede dar una idea de cual debe ser el valor de $e$

$e$	$f (x) = {(x + \frac{1}{x})}^{x}$
1	2
10	2.59374246
100	2.704813829
1000	2.716923932
10000	2.718145927
100000	2.718268237
10000000	2.718281694

Se puede demostrar que $e$ es un número irracional, de hecho $e \approx 2.718281828459 . . .$

Actividad 1

Usa lo que conoces de la función exponencial para trazar un esbozo de la gráfica de $f (x) = e^{x}$ .

1. Determina el dominio y campo de valores de la función.

2. Incluye al menos 3 puntos en la gráfica.

3. Identifica asíntotas horizontales

4. Determina en que intervalos la función es creciente o decreciente.

5. ¿Acaso esta función tienen inversa?

Respuesta

Gracias a la experiencia anterior , sabemos que la función $f (x) = e^{x}$ es una función exponencial básica con $b = e$ .Por esta razón su dominio es $(- \infty, \infty)$ y su campo de valores $(0, \infty)$ . La función es creciente y su gráfica abre hacia arriba, corta el eje $y$ en el punto $(0,1)$ y pasa por los puntos $(0, e)$ y $(- 1, \frac{1}{e})$ .

Sin embargo, la grafica no corta el eje de $x$ . De hecho, la función tiene la propiedad de que si $x$ es suficientemente pequeño, los valores de $e^{x}$ estan tan cerca a cero como querramos. Es decir la recta $y = 0$ es una asintota hotizontal de la gráfica de $f$ . Considera ahora $g (x) = e^{- x}$ , como $g (x) = e^{- x} = \frac{1}{e^{x}} = {(\frac{1}{e})}^{x}$ y $0 < \frac{1}{e} < 1$ , la gráfica de $g$ es la reflexión de la gráfica de $f$ con respecto al eje $y$ . En particular es decreciente, pasa por el punto de corte $(0,1)$ en el eje $y$ y pasa por los puntos $(- 1, e)$ y $(- 1, \frac{1}{e})$ y sus valores están tan cerca de cero como querramos cuando $x$ es suficientemente grande.

Ejercicio

Visto lo anterior, Para que valores de $k$ la función $f (x) = e^{k x}$ es una función creciente?

Para que valores de $k$ la función $f (x) = e^{k x}$ es una función decreciente?

Actividad 2

En esta actividad construirás gráficamente la función inversa de $f (x) = e^{x}$ .

En la siguiente aplicacion :

Aplicación

1. Escribe en el rectángulos color verde que está al pie de la página la fórmula

f (x) = e^{x}

y El recuadro para redibujar los datos

2. Al así hacerlo, la aplicación trazará la gráfica de

f

3. Con el cursor, atrapa y mueve el punto rojo que está sobre el eje de

x

¿Que relación existe entre

f

y la gráfica verde que aparece en la pantalla mientras mueves el cursor? Esta aplicación contiene una animación que puede ayudarte a contestar esta pregunta. Para ver la animación puedes repetir tantas veces como desees el siguiente proceso:

i. Ir a la primera ventana de la animación, usando el botón |<< en la parte inferior de la ventana de gráficas ..

ii. Pulsar PLAY para correr la animación.

Actividad 3

Considera la función $f (x) = \ln (x)$ . Usa las propiedades de la inversa para identificar:

1. Dominio y Rango

2. Tres puntos sobre la gráfica

3. Asintotas (si alguna)

4. La conducta final

5. Intervalos donde es positiva y negativa

6. Intervalos donde es creciente y decreciente

Como $e^{x}$ y $\ln (x)$ son funciones inversas tenemos que si $x > 0$ , escribir $y = \ln (x)$ quiere decir que $e^{y} = x$ , osea que $\ln (x)$ es el exponente al que debemos elevar la base $e$ para recuperar a $x .$ Una ecuación logarítmica básica tiene una forma exponencial equivalente.

Llena los espacios en blanco...

Actividad 4

Objetivo

Usar las propiedades de logaritmos para establecer que cualquier función exponencial puede expresarse como una contracción o estiramiento de otra función exponencial con otra base.

Observa que como $e^{x}$ es la inversa de $\ln (x) es cierto que para cualquier número real que$ $b > 0$ , tenemos que $e^{\ln b} = b$ . Este dato, nos lleva a concluir que $b^{x} = {(e^{\ln b})}^{x} = e^{x \ln b}$ . De modo que cualquier función exponencial básica puede escribirse como una contracción o estiramiento horizontal de la función $e^{x}$ .

Para proporcionar un ejemplo concreto: Como $S (x) = 7^{x} = e^{x \ln 7}$ sabemos que la gráfica de $y = S (x)$ puede conseguirse realizando una contracción horizontal de la gráfica de $y = e^{x}$ por un factor de $\frac{1}{7}$ .

Recuerda ademas las leyes de logaritmos si $M$ y $N$ son positivos y $r$ es un numero real, tenemos que

\ln N M = \ln N + \ln M

\ln \frac{N}{M} = \ln N - \ln M

\ln M^{r} = r \ln M

Las leyes de logaritmos permiten ver que todas las funciones exponenciales básicas pueden expresarse como estiramientos o contracciones horizontales de alguna otra función exponencial básica. En cierto sentido podemos decir que la “base es lo de menos”. Es decir, si $c > 0$ es distinto de $b$ y distinto de 1, es posible encontrar un número real $k$ tal que $b^{x} = c^{k x}$

Para demostrarlo , primero estableceremos que es posible conseguir un numero real $k$ tal que $c^{k} = e^{\ln b}$ ¿ Cual debe ser ese valor de $k$ ?

Veamos.

Aplicando el logaritmo natural a ambos lados de $c^{k} = e^{\ln b}$ obtenemos: $\ln (c^{k}) = \ln (e^{\ln b})$ y usando las propiedades del logaritmo, tenemos $k \ln (c) = \ln (b)$ , despejando por $k$ nos quedamos con $k = \frac{\ln b}{\ln c}$ De modo que usando las propiedades de exponentes podemos ver que

$b^{x} = e^{x \ln b} = {(e^{\ln b})}^{x} = {(e^{\ln b})}^{x \frac{\ln b}{\ln c}} = {(e^{\ln c \frac{\ln b}{\ln c}})}^{x} = {(c^{\frac{\ln b}{\ln c}})}^{x} = {(c^{k})}^{x} = c^{k x}$

Ejercicio

Encuentra el valor de $k$ tal que la gráfica de $f (x) = 3^{k x}$ coincida la grafica de $g (x) = 4^{x}$