Ecuaciones Cuadráticas

Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

Identificar ecuaciones cuadráticas.
Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de Factorización.
Resolver ecuaciones cuadráticas usando el método de completar al cuadrado.
Usar la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones cuadráticas.

En la aplicación siguiente, dejar la velocidad inicial y el ángulo incial en 60 y oprimir el botón lanzar. La trayectoria del proyectil es una parábola y el proyectil está en la tierra (y = 0) cuando x = 0 (al comienzo) y x = 318.13 (al final). (Si no ves la aplicación, por favor descarga flashplayer aquí).

Aplicación Cortesia de www.educaplus.org

Al cambiar los parámetros iniciales, la trayectoria del proyectil cambia pero siempre es una parábola, así x y y satisfacen la ecuación $y = a x^{2} + b x + c$ donde a, b y c son números reales, $a \neq 0$ . Los valores de x donde el proyectil tocará la tierra ocurren cuando la altura y = 0. Como consecuencia, son los valores de x que satisfacen $a x^{2} + b x + c = 0$ . Una ecuación que se puede escribir en esta forma se llama una ecuación cuadrática.

En la siguiente aplicación al escoger a = 1, b = -3 y c = 2 resulta la gráfica de la ecuación cuadrática y = x² - 3x + 2. Los valores de x donde y = 0 se ven al dar un click en la caja rotulada Intersección con el eje. En este caso, nos dice que las soluciones de la ecuacion cuadratica x² - 3x + 2 = 0 son x = 1 y x = 2.
Cambiar los parámetros a,b y c para ver las soluciones de otras ecuaciones cuadráticas geométricamente.
Es importante observar que a veces hay una solución, a veces 2 soluciones y a veces ninguna solución. Esto significa geométricamente que la gráfica de una ecuación cuadrática puede cortar en el eje de x en dos , una o ninguna ocasión.

Aplicación Cortesia de www.educaplus.org

Ya hemos visto soluciones geométricas de ecuaciones cuadráticas utilizando estas aplicaciones interactivas. Por supuesto podríamos graficar a mano estas ecuaciones y también hallar en muchos casos la solución aproximada o exacta. La próxima lección se dedicará a conseguir soluciones algebraicas mediante diferentes métodos.

Método de factorización

El método de factorización se basa en la siguiente propiedad:

La propiedad del producto cero dice:

AB = 0 si y solo si A=0 ó B=0

Lo que significa que si el producto de dos números es cero, entonces alguno de ellos o ambos son iguales a cero.

Para resolver una ecuación cuadrática con el método de factorización, seguiremos los siguientes pasos:

Escribir la ecuación en forma $a x^{2} + b x + c = 0$ .
Factorizar. (Si has olvidado como factorizar, haz click Aqui)
Haciendo uso de la propiedad del producto cero, igualar cada factor a cero y resolver para x.
Verificar la solución.

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente ecuación $x^{2} + 4 x = 12$

Solución:

Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general. $x^{2} + 4 x - 12 = 0$
Paso 2: Factorizar $\begin{matrix} x^{2} + 4 x - 12 = 0 \\ (x + 6) (x - 2) = 0 \end{matrix}$
Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x
$\begin{matrix} x + 6 = 0 \\ x = - 6 \end{matrix}$	$\begin{matrix} x - 2 = 0 \\ x = 2 \end{matrix}$
Paso 4: Verificar la solución.
Verificar x=-6 $\begin{matrix} x^{2} + 4 x - 12 = 0 \\ {(- 6)}^{2} + 4 (- 6) - 12 = 0 \\ 36 - 24 - 12 = 0 \\ 0 = 0 \end{matrix}$	Verificar x=2 $\begin{matrix} x^{2} + 4 x - 12 = 0 \\ {(2)}^{2} + 4 (2) - 12 = 0 \\ 4 + 8 - 12 = 0 \\ 0 = 0 \end{matrix}$

Ejemplo 2:

Resolver la siguiente ecuación $2 x^{2} - 3 = 5 x$

Solución:

Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general. $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$
Paso 2: Factorizar $\begin{matrix} 2 x^{2} - 5 x - 3 = 0 \\ (2 x + 1) (x - 3) = 0 \end{matrix}$
Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x
$\begin{matrix} 2 x + 1 = 0 \\ 2 x = - 1 \\ x = - \frac{1}{2} \end{matrix}$	$\begin{matrix} x - 3 = 0 \\ x = 3 \end{matrix}$
Paso 4: Verificar la solución.
Verificar x=-1/2 $\begin{matrix} 2 x^{2} - 3 = 5 x \\ 2 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 3 = 5 (- \frac{1}{2}) \\ 2 (\frac{1}{4}) - 3 = 5 (- \frac{1}{2}) \\ \frac{1}{2} - 3 = - \frac{5}{2} \\ - \frac{5}{2} = - \frac{5}{2} \end{matrix}$	Verificar x=3 $\begin{matrix} 2 x^{2} - 3 = 5 x \\ 2 {(3)}^{2} - 3 = 5 (3) \\ 2 (9) - 3 = 15 \\ 18 - 3 = 15 \\ 15 = 15 \end{matrix}$

Completar al Cuadrado

Recuerde que un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma:

$x^{2} + 2 x y + y^{2}$

o la forma

$x^{2} - 2 x y + y^{2}$

Recordemos que un trinomio cuadrado perfecto se factoriza fácilmente así

$x^{2} + 2 x y + y^{2} = {(x + y)}^{2}$

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = {(x - y)}^{2}$

La idea del método de completar al cuadrado es agregar una cantidad constante a una expresión para convertirla en un trinomio cuadrado perfecto.

Así, para convertir la expresión $x^{2} + bx$ a un cuadrado perfecto se debe agregar ${(\frac{b}{2})}^{2}$ .

De esta forma, la expresión será factorizada así $x^{2} + bx + {(\frac{b}{2})}^{2} = {(x + \frac{b}{2})}^{2}$ .

Por otro lado, recordemos que para preservar el balance de una ecuación, si agregamos o restamos una cantidad determinada a un lado de la ecuación, debemos agregar o restar la misma cantidad al otro lado de la ecuación

Ahora estamos listos para resolver las ecuaciones cuadráticas completando al cuadrado. Para ello seguiremos los siguientes pasos:

Dejar los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la ecuación y llevar el término independiente al lado derecho de la ecuación.
Si la variable $x^{2}$ tiene un coeficiente diferente de 1, dividir cada término de la ecuación por dicho coeficiente.
Completar al cuadrado, teniendo en cuenta que se debe sumar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación.
Resolver la ecuación, teniendo en cuenta que si ${(x - \frac{b}{2})}^{2} = C$ entonces $x - \frac{b}{2} = \pm \sqrt{C}$ .

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente ecuación $x^{2} + 4 x - 32 = 0$

Solución:

Paso 1: Dejar los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la ecuación y llevar el término independiente al lado derecho de la ecuación. $x^{2} + 4 x = 32$
Paso 2: Si la variable $x^{2}$ tiene un coeficiente diferente de 1, dividir cada término de la ecuación por dicho coeficiente. En este caso el coeficiente de la variable $x^{2}$ ya es igual a 1.
Paso 3: Completar al cuadrado, teniendo en cuenta que se debe sumar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación. $\begin{matrix} x^{2} + 4 x = 32 \\ x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} = 32 + {(\frac{4}{2})}^{2} \\ {(x + \frac{4}{2})}^{2} = 32 + 4 \\ {(x + 2)}^{2} = 36 \end{matrix}$
Paso 4: Resolver la ecuación $\begin{matrix} {(x + 2)}^{2} = 36 \\ x + 2 = \pm \sqrt{36} \\ x + 2 = \pm 6 \end{matrix}$
$\begin{matrix} x + 2 = 6 \\ x = 4 \end{matrix}$	$\begin{matrix} x + 2 = - 6 \\ x = - 8 \end{matrix}$
Paso 5: Verificar la solución.
Verificar x=4 $\begin{matrix} x^{2} + 4 x - 32 = 0 \\ {(4)}^{2} + 4 (4) - 32 = 0 \\ 16 + 16 - 32 = 0 \\ 0 = 0 \end{matrix}$	Verificar x=-8 $\begin{matrix} x^{2} + 4 x - 32 = 0 \\ {(- 8)}^{2} + 4 (- 8) - 32 = 0 \\ 64 - 32 - 32 = 0 \\ 0 = 0 \end{matrix}$

Ejemplo 2:

Resolver la siguiente ecuación $9 x^{2} - 18 x + 5 = 0$

Solución:

Paso 1: Dejar los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la ecuación y llevar el término independiente al lado derecho de la ecuación. $9 x^{2} - 18 x = - 5$
Paso 2: Si la variable $x^{2}$ tiene un coeficiente diferente de 1, dividir cada término de la ecuación por dicho coeficiente. $\begin{matrix} \frac{9 x^{2}}{9} - \frac{18 x}{9} = - \frac{5}{9} \\ x^{2} - 2 x = - \frac{5}{9} \end{matrix}$
Paso 3: Completar al cuadrado, teniendo en cuenta que se debe sumar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación. $\begin{matrix} x^{2} - 2 x = \frac{5}{9} \\ x^{2} - 2 x + {(\frac{2}{2})}^{2} = - \frac{5}{9} + {(\frac{2}{2})}^{2} \\ {(x - \frac{2}{2})}^{2} = - \frac{5}{9} + 1 \\ {(x - 1)}^{2} = \frac{4}{9} \end{matrix}$
Paso 4: Resolver la ecuación $\begin{matrix} {(x - 1)}^{2} = \frac{4}{9} \\ x - 2 = \pm \sqrt{\frac{4}{9}} \\ x - 1 = \pm \frac{2}{3} \end{matrix}$
$\begin{matrix} x - 1 = \frac{2}{3} \\ x = \frac{5}{3} \end{matrix}$	$\begin{matrix} x - 1 = - \frac{2}{3} \\ x = \frac{1}{3} \end{matrix}$
Paso 5: Verificar la solución.
Verificar $x = \frac{5}{3}$ $\begin{matrix} 9 x^{2} - 18 x + 5 = 0 \\ 9 {(\frac{5}{3})}^{2} - 18 (\frac{5}{3}) + 5 = 0 \\ 9 (\frac{25}{9}) - 30 + 5 = 0 \\ 25 - 30 + 5 = 0 \\ 0 = 0 \end{matrix}$	Verificar $x = \frac{1}{3}$ $\begin{matrix} 9 x^{2} - 18 x + 5 = 0 \\ 9 {(\frac{1}{3})}^{2} - 18 (\frac{1}{3}) + 5 = 0 \\ 9 (\frac{1}{9}) - 6 + 5 = 0 \\ 1 - 6 + 5 = 0 \\ 0 = 0 \end{matrix}$

Fórmula Cuadrática

La fórmula cuadrática es una generalización del método de completar al cuadrado. Dada la ecuación cuadrática:

$a x^{2} + b x + c = 0$

donde a, b y c son números reales, $a \neq 0$ .

la fórmula cuadrática es la siguiente:

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente ecuación $2 x^{2} - 1 + x = 0$

Solución:

Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general. $2 x^{2} + x - 1 = 0$
Paso 2: Identificar las variables correspondientes. $\begin{matrix} a = 2, b = 1, c = - 1 \end{matrix}$
Paso 3: Reemplazar los valores en la fórmula y resolver para x $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ $x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 (2) (- 1)}}{2 (2)}$ $x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$ $x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{4}$ $x = \frac{- 1 \pm 3}{4}$
$\begin{matrix} x = \frac{- 1 + 3}{4} \\ x = \frac{2}{4} \\ x = \frac{1}{2} \end{matrix}$	$\begin{matrix} x = \frac{- 1 - 3}{4} \\ x = \frac{- 4}{4} \\ x = - 1 \end{matrix}$
Paso 4: Verificar la solución.
Verificar $x = \frac{1}{2}$ $\begin{matrix} 2 x^{2} - 1 + x = 0 \\ 2 {(\frac{1}{2})}^{2} - 1 + (\frac{1}{2}) = 0 \\ 2 (\frac{1}{4}) - (\frac{1}{2}) = 0 \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 \\ 0 = 0 \end{matrix}$	Verificar $x = - 1$ $\begin{matrix} 2 x^{2} - 1 + x = 0 \\ 2 {(- 1)}^{2} - 1 + (- 1) = 0 \\ 2 (1) - 2 = 0 \\ 2 - 2 = 0 \\ 0 = 0 \end{matrix}$

Ejemplo 2:

Resolver la siguiente ecuación $2 x - x^{2} = 2$

Solución:

Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.

$- x^{2} + 2 x - 2 = 0$

Paso 2: Identificar las variables correspondientes.

$\begin{matrix} a = - 1, b = 2, c = - 2 \end{matrix}$

Paso 3: Reemplazar los valores en la fórmula y resolver para x

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 (- 1) (- 2)}}{2 (- 1)}$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{- 2}$

Como $\sqrt{4 - 8} = \sqrt{- 4}$ no existe, significa que la ecuación no tiene solución.

Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

Identificar ecuaciones cuadráticas.
Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de factorización.
Resolver ecuaciones cuadráticas usando el método de completar al cuadrado.
Usar la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones cuadráticas.

Ecuaciones Cuadráticas

Objetivos

Introducción

Aplicación Cortesia de www.educaplus.org

Aplicación Cortesia de www.educaplus.org

Método de factorización

Completar al Cuadrado

Fórmula Cuadrática

Resumen