Leyes de los Exponentes

¿Qué son los exponentes?

Los exponentes son una forma de expresar la multiplicación de una expresión por sí misma un número determinado de veces.

Definición: $a^{n} = a ∙ a ∙ a ∙∙∙ a$ (a multiplicado n veces)

La letra a es conocida como la base, el número que usted va a multiplicar, y a la letra n se le llama potencia o exponente, el cual indica la cantidad de veces que va a multiplicar a. an se lee “a elevada a la n”.

Veamos algunos ejemplos:

$2^{3} = 2 ∙ 2 ∙ 2$                          (base: 2   exponente: 3)
$5^{7} = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5$             (base: 5   exponente: 7)
$y^{6} = y ∙ y ∙ y ∙ y ∙ y ∙ y$                (base: y   exponente: 6)

Las leyes de los exponentes

A la hora de evaluar y simplificar exponentes, utilizamos las Leyes de los Exponentes, una serie de reglas que nos sirven para hallar el valor de una expresión más rápidamente.

Ley #1: $a^{m} ∙ a^{n} = a^{m + n}$

Cuando se multiplican dos factores con las bases iguales, su producto será esa base elevada a la suma de las potencias.

Explicación: Al hallar el producto de exponentes con bases iguales, estamos contando la cantidad de bases que tenemos para multiplicar. Las potencias nos indican la cantidad de bases que tenemos de cada exponente.

Ilustración #1: $6^{4} ∙ 6$

Sabemos que $6^{4} = 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6$
y que $6 = 6^{4}$ (recuerden que la potencia uno es invisible).
Entonces $6^{4} ∙ 6 = (6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6) (6) = (6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6) = 6^{5}$
Por tanto, $6^{4} ∙ 6 = 6^{4 + 1} = 6^{5}$

Ilustración #2: $a^{3} ∙ a^{5}$

Sabemos que $a^{3} = a ∙ a ∙ a$
y que $a^{5} = a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a$ .
Entonces $a^{3} ∙ a^{5} = (a ∙ a ∙ a) (a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a) = (a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a) = a^{8}$
Por tanto, $a^{3} ∙ a^{5} = a^{3 + 5} = a^{8}$

Ejemplo: Halle el valor de $c^{6} ∙ c^{7}$

Solución: Como los exponentes que vamos a multiplicar tienen bases iguales, podemos resolver usando la Ley #1 de los exponentes:
$c^{6} ∙ c^{7} = c^{6 + 7} = c^{13}$

Ley #2: ${(a ∙ b)}^{n} = a^{n} ∙ b^{n}$

La ley #2 se utiliza cuando tenemos dos factores cualquiera elevados por el mismo exponente.

Explicación: El producto de los dos factores elevados por un exponente se puede comportar como un exponente de base única, pero si expandemos la multiplicación y utilizamos la propiedad conmutativa para reorganizar cada uno de los factores, separándolos en una multiplicación de dos exponentes de bases diferentes pero con misma potencia.

Ilustración #1: ${(4 ∙ 5)}^{3}$

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores:

${(4 ∙ 5)}^{3} = (4 ∙ 5) ∙ (4 ∙ 5) ∙ (4 ∙ 5)$

Ahora, usando la propiedad conmutativa multiplicativa, agrupamos términos semejantes:

$= (4 ∙ 4 ∙ 4) ∙ (5 ∙ 5 ∙ 5)$

Finalmente, por la definición de exponente:

$= 4^{3} ∙ 5^{3}$

Ilustración #2: ${(c ∙ d)}^{4}$

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores:

${(c ∙ d)}^{4} = (c ∙ d) ∙ (c ∙ d) ∙ (c ∙ d) ∙ (c ∙ d)$

Ahora, usando la propiedad conmutativa multiplicativa, agrupamos términos semejantes:

$= (c ∙ c ∙ c ∙ c) ∙ (d ∙ d ∙ d ∙ d)$

Finalmente, por la definición de exponente:

$= c^{4} ∙ d^{4} = c^{4} d^{4}$

Ejemplo: Halla el valor de ${(2 a)}^{5}$ .

Solución: Por la Ley #2:

${(2 a)}^{5} = {(2 ∙ a)}^{5} = 2^{5} ∙ a^{5} = 32 a^{5}$

Ley #3: ${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$

Cuando un cociente (o una fracción) es elevado completamente por un exponente, es favorable usar la Ley #3 para hallar su valor.

Explicación: El cociente, al igual que los dos factores, se comporta como un exponente de base única. Si expandemos la multiplicación y utilizamos las reglas para multiplicar fracciones, vemos que, aunque tengan bases diferentes, al final tienen la misma potencia.

Ilustración #1: ${(\frac{7}{5})}^{3}$

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar el cociente:

${(\frac{7}{5})}^{3} = (\frac{7}{5}) ∙ (\frac{7}{5}) ∙ (\frac{7}{5})$

Ahora, usando la regla de multiplicacioacute; de fracciones, agrupamos términos semejantes, tanto del numerador, como del denominador:

$= \frac{7 ∙ 7 ∙ 7}{5 ∙ 5 ∙ 5}$

Finalmente, aplicamos la definición de exponente:

$= \frac{7^{3}}{5^{3}}$

Ilustración #2: ${(\frac{p}{q})}^{5}$

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar el cociente:

${(\frac{p}{q})}^{5} = (\frac{p}{q}) ∙ (\frac{p}{q}) ∙ (\frac{p}{q}) ∙ (\frac{p}{q}) ∙ (\frac{p}{q})$

Ahora, usando la regla de multiplicacioacute; de fracciones, agrupamos términos semejantes, tanto del numerador, como del denominador:

$= \frac{p ∙ p ∙ p ∙ p ∙ p}{q ∙ q ∙ q ∙ q ∙ q}$

Finalmente, aplicamos la definición de exponente:

$= \frac{p^{5}}{q^{5}}$

Ejemplo: Halle el valor de ${(\frac{3 x}{y})}^{4}$ .

Solución: Por la Ley #3:

${(\frac{3 x}{y})}^{4} = {(\frac{3 ∙ x}{y})}^{4} = \frac{3^{4} ∙ x^{4}}{y^{4}} = \frac{81 x^{4}}{y^{4}}$

Ley #4: ${(a^{n})}^{m} = a^{n ∙ m}$

La cuarta ley de los exponentes es necesaria cuando tenemos un exponente dentro de otro exponente.

Explicación: La base a es multiplicada un número determinado de veces, n. Luego, toda esa multiplicación expandida es multiplicada otro número determinado de veces, m. En otras palabras: al expandirse, $a^{n}$ contiene n cantidad de a, pero al estas ser elevadas a la m, tendremos a multiplicada por sí misma mn veces.

Ilustración #1: ${(3^{2})}^{5}$

Expandemos $3^{2}$ :

${(3^{2})}^{5} = {(3 ∙ 3)}^{5}$

Entonces, expandemos ${(3 ∙ 3)}^{5}$

${(3 ∙ 3)}^{5} = (3 ∙ 3) ∙ (3 ∙ 3) ∙ (3 ∙ 3) ∙ (3 ∙ 3) ∙ (3 ∙ 3)$
$= 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3$

Aplicando la definición de exponente:

$= 3^{10}$

Ilustración #2: ${(d^{4})}^{2}$

Expandemos $d^{4}$ :

${(d^{4})}^{2} = {(d ∙ d ∙ d ∙ d)}^{2}$

Entonces, expandemos ${(d ∙ d ∙ d ∙ d)}^{2}$

${(d ∙ d ∙ d ∙ d)}^{2} = (d ∙ d ∙ d ∙ d) ∙ (d ∙ d ∙ d ∙ d)$
$= d ∙ d ∙ d ∙ d ∙ d ∙ d ∙ d ∙ d$

Aplicando la definición de exponente:

$= d^{8}$

Ejemplo: Halle el valor de ${(5 g^{4})}^{3}$ .

Solución: Por la Ley #4:

${(5 g^{4})}^{3} = 5^{3} ∙ {(g^{4})}^{3} = 125 ∙ g^{4 ∙ 3} = 125 g^{12}$

Ley #5: $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ , $a \neq 0$

La Ley #5 se aplica solamente cuando estamos hallando el cociente de dos exponentes con bases iguales.

Explicación: Mientras hallamos el cociente, estamos contando cuántas bases tiene, tanto en el numerador como en el denominador. De ahí, eliminamos la cantidad mínima de bases de ambas expresiones, en otras palabras, simplificamos eliminando la potencia menor de la mayor.

Ilustración #1: $\frac{3^{6}}{3^{2}}$

Expandemos tanto el numerador como el denominador, por la definición de exponente:

$\frac{3^{6}}{3^{2}} = \frac{3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3}{3 ∙ 3}$

Entonces eliminamos bases semejantes (simplificamos) hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1.

$\frac{3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3}{3 ∙ 3} = \frac{3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3}{1} = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3$

Finalmente, por la definición de exponente:

$3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 3^{4}$

Ilustración #2: $\frac{r^{9}}{r^{8}}$

Expandemos tanto el numerador como el denominador, por la definición de exponente:

$\frac{r^{9}}{r^{8}} = \frac{r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r}{r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r}$

Entonces eliminamos bases semejantes (simplificamos) hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1.

$\frac{r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r}{r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r} = \frac{r}{1} = r$

Ejemplo: Halle el valor de $\frac{{8 c}^{15}}{{4 c}^{3}}$

Solución: Primero simplificamos los enteros. Por la propiedad multiplicativa de los números racionales:

$\frac{{8 c}^{15}}{{4 c}^{3}} = \frac{8}{4} ∙ \frac{c^{15}}{c^{3}} = 2 ∙ \frac{c^{15}}{c^{3}}$

Finalmente, por la Ley #5, hallamos el cociente de los exponentes:

$2 ∙ \frac{c^{15}}{c^{3}} = 2 ∙ c^{15 - 3} = 2 c^{12}$

Ley #6: $a^{0} = 1$ , $a \neq 0$

Toda expresión elevada a cero es igual a uno excepto el cero.

Explicación: $a^{0}$ es el resultado de una diferencia de potencias iguales, del cual sabemos por la Ley #5, sale del cociente de dos exponentes. Como el denominador de cualquier fracción no puede ser cero. $0^{0}$ no es igual a uno.

Ilustración:

Por la Ley #5, podemos darle un valor a cero y revertirlo a un cociente, digamos $2 - 2$ :

$a^{0} = a^{2 - 2} = \frac{a^{2}}{a^{2}}$

Por definición de exponente:

$\frac{a^{2}}{a^{2}} = \frac{a ∙ a}{a ∙ a}$

Ahora, simplificamos, eliminando bases semejantes hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1:

$\frac{a ∙ a}{a ∙ a} = \frac{1}{1} = 1$

Por tanto, $a^{0} = 1$

Ley #7: $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ , $a \neq 0$

Toda expresión elevada a un número negativo es equivalente a su recíproco pero con el exponente siendo positivo.

Explicación: $a^{- n}$ es el resultado de una diferencia de potencias diferentes, del cual sabemos por la Ley #5, sale del cociente de dos exponentes. Como el denominador de cualquier fracción no puede ser cero. En este caso, el denominador tenía un exponente mayor. $0^{0}$ no es igual a uno.

Ilustración: $a^{- 3}$

Por la Ley #5 podemos darle un valor equivalente a -3 para revertirlo a un cociente, digamos $2 - 5$ :

$a^{- 3} = a^{2 - 5} = \frac{a^{2}}{a^{5}}$

Por definición de exponente:

$\frac{a^{2}}{a^{5}} = \frac{a ∙ a}{a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a}$

Ahora, simplificamos, eliminando bases semejantes hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1:

$\frac{a ∙ a}{a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a} = \frac{1}{a ∙ a ∙ a}$

Finalmente, por definición de exponente:

$\frac{1}{a ∙ a ∙ a} = a^{- 3}$

Simplificar expresiones usando las leyes de los exponentes:

Se puede aplicar más de una ley a la hora de simplificar expresiones:

Ejemplo #1: Simplifique la expresión

{(\frac{- 27 y^{9} z^{6}}{3 y^{4} z^{2}})}^{2}

Utilizamos la propiedad multiplicativa de los números racionales para rearreglar las expresiones dentro de los paréntesis; de tal forma que cada expresión quede con su contraparte:

${(\frac{- 27 y^{9} z^{6}}{3 y^{4} z^{2}})}^{2} = {(\frac{- 27}{3} ∙ \frac{y^{9}}{y^{4}} ∙ \frac{z^{6}}{z^{2}})}^{2}$

Simplificamos cada uno de los factores, las dos últimas utilizando la Ley #5:

${(\frac{- 27}{3} ∙ \frac{y^{9}}{y^{4}} ∙ \frac{z^{6}}{z^{2}})}^{2} = {(- 9 ∙ y^{9 - 4} ∙ z^{6 - 2})}^{2} = {(- 9 ∙ y^{5} ∙ z^{4})}^{2}$

Ahora, usando la Ley #4, elevamos todos los factores dentro del paréntesis por 2 y hallamos los valores.

${(- 9 ∙ y^{5} ∙ z^{4})}^{2} = {(- 9)}^{2} ∙ y^{5 ∙ 2} ∙ z^{4 ∙ 2} = 81 y^{10} z^{8}$

Ejemplo #2: Simplifica

(2 x^{3}) (\frac{3}{x^{4}})

, expresado solamente con exponentes positivos.

Utilizamos la propiedad multiplicativa de los números racionales para separar las expresiones dentro dentro de sus respectivos paréntesis.

$(2 ∙ x^{3}) (3 ∙ \frac{1}{x^{4}})$

Note que por la Ley #7 podemos convertir $\frac{1}{x^{4}}$ en $x^{- 4}$ , de tal manera que la expresión quedaría así:

$(2 ∙ x^{3}) (3 ∙ x^{- 4})$

Rearreglamos las expresiones usando la propiedad conmutativa.

$(2 ∙ 3) (x^{3} ∙ x^{- 4})$

Ahora por la Ley #1, hallamos el producto de los dos exponentes.

$(6) (x^{3 - 4}) = (6) (x^{- 1})$

Como las instrucciones indican que los exponentes deben ser positivos, por la Ley #7, revertimos $x^{- 1}$ a $\frac{1}{x}$ .

$(6) (x^{- 1}) = (6) (\frac{1}{x}) = \frac{6}{x}$

Resumen

Esta lección presentó los conceptos y destrezas básicas que te permitirán:

Entender cada una de las leyes de los exponentes.

Aplicar las leyes de los exponentes para resolver problemas.

Leyes de los Exponentes

Objetivos

Las leyes de los exponentes

Simplificar expresiones usando las leyes de los exponentes: